Abschnitt XX.
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Man erhält, nach einem Zeichenwechsel für jede ungerade Vertauschung,die erste Linie, ai/zt — bxzt + cxt/t — dxyz. In dieser erstenLinie setze inan ähnlicherweise, nacheinander, bezüglich a, b', c, dstatt x, //, z, t. Man erhält die zweite Linie. Darin setze man be-züglich a", b", c", d" statt sc, jl, z, t, und man erhält die dritte Linie.
Der Wert von x ergibt sich dann durch Division des Koeffizientenvon x mit dem des Koeffizienten von /; d. h.
x = — j (bc — b'c) d" — (7h/' — V d) c" + (cd' — cd) b" j
: ) (ab' — ((' b) c" — (nc — de) b" + (bc — b'c) fl" }.
Ähnliches für // und z. Warum mit xyzt angefangen wird, undwas dieses Produkt eigentlich bedeutet, wird nicht erklärt. Man sieht,daß hier Determinantenausdrücke Vorkommen und daß die Methodeauch zur Resultantenbestiinmung dient. Die Regel wird an Beispielenangewendet, wo einige Koeffizienten Null sind, oder eine Linie ver-schwindet, oder eine der Unbekannten in der letzten Linie wegbleibt.Bezout gibt auch eine bessere Regel, die Laplacesche Entwicklungniederzuschreiben *).
Bezout geht dann zu Gleichungssystemen höherer Grade überund bewirkt die Elimination nach einer Methode von unbestimmtenKoeffizienten. Jede der vorgelegten Gleichungen wird mit einem un-bestimmten Polynom multipliziert, so daß in der Summe dieser Pro-dukte alle Unbekannten mit Ausnahme einer einzigen verschwinden.Durch eine Konstantenabzählung und die Auflösung von linearenGleichungen lehrt er Polynome dieser Art zu finden. Das Werkwurde von Lagrange 2 ) und La place 3 ) sehr hoch geschätzt. La-grange sagte: ,je le mets dans le petit nombre de ceux qui sontveritablement utiles aux progres des Sciences'". Und doch scheinenBezouts Resultate teilweise in Vergessenheit geraten zu sein, denn.Tacobi und Minding leiteten solche über ein halbes Jahrhundertspäter von neuem ab, ohne Bezout als Vorgänger zu nennen 4 ).
Bezouts Eliminationsregel für lineare Gleichungen wurde von0. F. Hiiidenburg in seiner Vorrede zu einem Werke von C. F.Rüdiger, Specimen analyticum de lineis curvis etc., Leipzig 1784, ins Lateinische übersetzt. Hindenburg selbst gab eine Regel,welche zugleich die Gliederbildung und die Zeichenordnung in Deter-minanten lieferte 5 ).