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Abschnitt XX.

also die allgemeine kubische Gleichung y 3 -f xtf -f- Ry -- = 0 in

die Gleichung z 3 -f (2E — x s )z 2 ■+- ( R- + *7 ) s ~ h = U venvan(le lU

worin z = y-, und man setzt 211 — .r = ^ , R- -f ^ und

eliminiert R mittels der zwei letzten Gleichungen, so erhält man die allge-meine quartische Gleichung x* + qx 2 + rx + s = 0. Folglich erhält manauch umgekehrt durch Auflösung der kubischen Gleichung von z dieWurzeln dieser quartischen Gleichung 1 ). Ilulbe lehrt auch Glei-chungen mit ganzen und gebrochenen Exponenten, wenn diese Ex-ponenten auch nicht alle positiv sind, in Gleichungen mit ganzenpositiven Exponenten zu verwandeln, sowie aus der Summe der Potenzenmit ganzen positiven Exponenten der Wurzeln, die Summen derPotenzen mit ganzen positiven und negativen Exponenten der Pro-dukte von gleich vielen ihrer Wurzeln zu finden, wodurch jede Gleichungin eine andere verwandelt werden kann, worin die Wurzeln den Pro-dukten von gleich vielen Wurzeln dieser Gleichung, zu Potenzen mitganzen positiven oder negativen Exponenten erhoben, gleich sind.

Um die Wegschafiung der Wurzelgrößen aus den Glei-chungen zu erzielen, gibt C. G. Fischer, Professor am KölnischenGymnasium, drei Methoden 2 ). Soll nach der ersten eine Gleichungin eine andere, deren Exponenten sämtlich z. B. dreimal so groß sind,verwandelt werden, so bringe man die Gleichung auf die Form — a=bx+ cx 2 , wo «, b, c entweder gar keine, oder bloß solche Potenzen vonx enthalten, deren Exponenten durch 3 teilbar sind. Man erhältdann — a 3 = b 3 x 3 -f 3 b 2 cx i + 3 bc 2 x b -f <?x 3 , — aax 3 = ubx i + acx 5 .Das willkürlich angenommene a läßt sich nun so bestimmen, daß inder Summe der Seiten dieser Gleichungen die Glieder, welche x i und.»“ enthalten, Null werden; also u = — 3 6c, und man hat das Resultat0 = « 3 + b 3 x 3 + c 3 x 3 — 3 a6c. In der zweiten Methode, wenn die ge-gebene Gleichung ,r r + ax r ~' + • • • = 0 und die gesuchte

x r " + Axfr-V* -|-= 0

ist, dividiere man letztere durch erstere bis im Quotienten ein Gliedvorkommt, das kein x mehr hat, dann muß der r gliedrige Rest,Glied für Glied, Null sein. Man hat also r Gleichungen für dieBestimmung der r Größen M, B, . . . Die dritte Methode ist tri-gonometrisch.

ln einem Aufsatze, De inventione divisorum 3 ) werden von

') Ilulbe, S. 135. VgLMatthiessen, Grundz.d. Ant.&Mod. Alg d.Litt.Gleich.,S. 331, 433, 568. *) Archiv d. r. u. a. Mathem. (Hindenburg), 2. Bd., 1798,

S. 180—195, 426—440. •) Nova acta scient. imp. Petropolitanae, T. XI, ad

arnium 1793. Petropoli 1798, p. 172—182.