Algebra.
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dem Astronomen Friedrich Theodor v. Schubert (1758 — 1825)aus Helmstedt die Kegeln in Newtons Arithmetica universalisfür die Auffindung linearer und quadratischer Faktoren eines PolynomsI'\x) = Ax m + Jlx m ~ 1 + • • • angegeben und auch eine allgemeineRegel, um rationale Faktoren f(x) = ax' 1 + bx "~ 1 + ■ ■ • höherenGrades aufzufinden, abgeleitet. Diese Arbeit scheint von Mathe-matikern übersehen worden zu sein, denn noch 18B2 äußerte Kroneckerdas Bedürfnis einer allgemeinen Zerlegungsmethode 1 ). Schubertgründet sein Verfahren auf folgendes durch mathematische Induktionbewiesene Lemma: Gibt man dem x in X = x n nacheinander die In-kremente 1, 2, 3, . . ., so ist- die n tc Differenz ,J n X = 1 . 2.3 . . . n.
Für jeden ganzzahligen Wert x, von x ist der Wert von F(x t ) einganzes Vielfaches des Wertes von f(x,). Man trage nun für x nach-einander die Werte ... 2, 1, 0, — 1, — 2 . . . ein. Für jeden der-selben zerlege man den Zahlenwert von Fix) in seine ganzzahligen'feiler. Wenn man jeden dieser Teiler für irgendeinen Wert von x, von ax"abzieht, muß, wenn ein Faktor f(x) überhaupt vorhanden ist, unterden verschiedenen Resten der Wert von ax” — f(x) sich vorfinden.Wenn man jetzt in der Berechnung von
. /( ax n — f(x)), . . . .'] n - 2 (ax n — fix))
für die oben angedeuteten Werte von x alle möglichen Kombinationenvon Minuenden und Subtrahenden macht, wird es möglich sein, fürJ n ~ 2 (ax "— fix)) Werte zu erhalten, die eine arithmetische Reihebilden. Ist dieses nicht möglich, so kann F(x) nicht in Faktoren zer-legt werden. Im Verfahren Kroneckers werden statt der Differenzen-methode Interpolationsformeln gebraucht. Sonst sind die zweiMethoden ganz ähnlich.
Einen interessanten Versuch nachzuweisen, daß Gleichungen vongeradem Grade in lauter reelle trinomische Faktoren zerlegt werdenkönnen, machte Laplace 1795 in seinen Vorlesungen auf der 2°)Normalschule 2 ). Die Wurzelexistenz wird stillschweigend voraus-
gesetzt. Ist der Grad der vorgelegten Gleichung 2'S, und S eineungerade Zahl, und sind a, h, c, . . . die Wurzeln, so soll man eineneue Gleichung vom Grade 2'~ 1 S(2‘S — 1) bilden, deren Wurzelna -r l> -f- ma b sind, wo m verschiedene bestimmte Werte annehmen
*) .Journal f. r. u. a. Mathematik, Bd. 92, S. 10. •) Üeances des ecoles
normales, an III (1794—1795) = Journal de l’äeole polytechnique 7. et 8. eahiers,
T. II, 1812, p. 56, 57. Vgl. Gl. Loria, H teorema fondamentale della teoriadelle equazioni algebriclie, Rivista di matematica, 1891, p. 185—248; G. Loria,Esame di alcune ricerche concernenti l’esistenza di radici nelle equazioni alge-briche, Bibliotheca mathematica 1891, p. 99—112.