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Abschnitt XX.
darf. Wenn i = 1, so ist ihr Grad ungerade und sie hat wenigstenseine reelle Wurzel, welchen Wert m auch haben möge. Es kannaber m beliebig viele Werte annehmeu, weshalb es beliebig vieleGleichungen letztgenannten Grades gibt, welche je wenigstens einereelle Wurzel von dem Typus a + b + )>iub haben. Unter diesenGleichungen sind gewiß zwei, welche dasselbe Wurzelpaar enthaltenund reelle Werte für a + b + mab liefern. Sind diese reellen Wertea b mab und a + b -f- niab, dann sind a -f b und ab auch reell,sowie der Trinom x i — («• + b)x + ab, welcher ein Faktor der vor-gelegten Gleichung ist. Wenn i = 2, so hat eine Gleichung des Grades2 i ~ 1 S', wie eben gezeigt worden, einen quadratischen Faktor. Esgibt beliebig viele Faktoren des Typus a + b + mab, welche Wertevon der Form e + yY~ 1 annehmen, woraus geschlossen wird, daßa + b und ab gleichfalls diese Form haben, und daß die vorgelegteGleichung einen reellen quartischen Faktor enthält. Für i > 2 istdas Verfahren ähnlich.
ln einer Schrift, On tlie roots of equations 1 ) gibt JamesWood (17(30—1839), damals Fellow in St. John’s College , ein ein-Hußreicher Mann auf der Cambridge Universität, einen Beweis, daßeine Gleichung Grades n Wurzeln von der Form a ^ ]/ + b be-sitze. Der Eulersche Beweis dieses Satzes sei nicht allgemein,während Warings Auseinandersetzungen zu kurz und schwer ver-ständlich seien. Wood demonstriert den Satz, daß zwei Wurzelneiner Gleichung 2m ,e “ Grades durch die Lösung einer Gleichungm(2m — lY‘ -n Grades gefunden werden können. Wenn möglich, seienz + v und z — v zwei Wurzeln der vorgelegten Gleichung. Man er-hält durch Substitution dieser Werte und Addition und Subtraktionder erlangten Ausdrücke zwei Gleichungen, die sich durch y — v i iny m + -+-••• = 0 und Ay " ,_1 + By m ~ i + ■ • • = 0 reduzieren.
Letztere haben einen gemeinschaftlichen Faktor y + Z, wo Z eineFunktion von z und bekannten Größen ist. Diesen Faktor findet ernach der bekannten Divisionsmethode, indem er den von y freienRest gleich Null setzt. Dieser Rest ist m{2m — l) h ' u Grades inExistiert nun ein Wert von z, dann existieren auch Z und der ge-meinschaftliche Faktor y + Z, sowie zwei W urzeln z + Y i ^ er
vorgelegten Gleichung. Nach dieser Vorbereitung nimmt W ood an,daß jede Gleichung ungeraden Grades wenigstens eine reelle Wurzelhabe, und deshalb auf eine 2/w ten Grades erniedrigt werden könne.Ist m eine ungerade Zahl, so ist es auch m{2m — 1), weshalb z