Algebra.

139

und v- reell sein können. Die vorgelegte Gleichung 2m tl " Gradeshat demnach den reellen quadratischen Faktor x* — 2zx + z~ — i l2 = 0.

Wenn m gerade und ungerade sind, dann hat die Hilfsgleichungin z , wie eben bewiesen, zwei reelle Wurzeln oder zwei von derForm a + ]/— 1(>; ir hat die Form c +. <2j/— 1. Daraus zieht er dieFolgerung, daß die vorgelegte Gleichung einen quartischen Faktorx* + px s + qx i + rx + s = 0 mit reellen Koeffizienten besitzt, welcherin zwei reelle quadratische Faktoren zerteilbar ist und deshalb Wur-zeln von der Form a + ]/— 1 b besitzt. Man fahre so fort für dieFälle, wo "! oder V ‘ . . . ungerade ganze Zahlen sind. Wood

7 4 ö 7 ° °

macht von den verwandten Arbeiten von Foncenex und Lagrangekeine Erwähnung. Gegen den Beweis von Wood und auch gegendiejenigen von Euler , Foncenex, Lagrange und Laplace giltder Einwurf, daß dieselben nicht zum Ziele führen ohne die Wurzeln,deren Existenz zu beweisen ist, vorher auf irgendwelche Weise vor-zuführen. Was die Mathematiker des 1B. Jahrhunderts hauptsächlichim Auge hatten, war der Nachweis, daß alle Wurzeln von Gleichungenmit rationalen Koeffizienten entweder reelle Größen oder Größenvom Typus a + by — 1 seien.

Zakarias Nordmark (1751 —1828), Professor der Physik zuUpsala, veröffentlichte eine Schrift Expressio uniuscujusqueradicis aequationis cubicae in casu irreductibili, ope triumradicum e casu reductibili simul adhibitarum 1 ), worin erx = (Vi> + \ q + V~ r f se tzt und die Koeffizienten der kubischenGleichung, welche diese Wurzel hat, den Koeffizienten der vorgelegtnKubik x J — ‘dgx — '2h = 0 bezw. gleich setzt. Danach erhält ereine Gleichung, deren Wurzeln p, q, r sind und die für den irreduk-tiblen Fall (g z > Ir) der vorgelegteu Gleichung nur eine reelle Wurzelhat und deshalb durch Del Ferros Formel numerisch lösbar ist.Es kann also jede Wurzel von ,r s - 3 gx — 2 /< = 0, für den Fall(j A > Ir, durch drei Wurzelgrößen einer reduktiblen Kubik ausgedrücktwerden. Diese Untersuchung muß denen von besonderem Interessegewesen sein, die mit D’Alembert glaubten, der irreduktible Fall entspringe aus den unschicklichen Annahmen in der Del FerroschenAuflösung. Nordmarks neuer Angriff des Problems mußte aberdoch den Glauben an die Unmöglichkeit, imaginäre Ausdrücke zuvermeiden, bedeutend stärken.

Die 1799 veröffentlichte Teoria generale delle equazionivon Paolo Ruffini ist die erste von mehreren wichtigen Schriften

*) Nova Acta Reg. Soc. Seien. Upsaliensis, Vol. TI, 1799, p. 203—210.