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Abschnitt XX.

Iluffinis über die Unlösbarkeit der Quintic und gehört deshalb einerspäteren Zeitperiode an. Nach Poggendorff und Matthiessenwurde das eben zitierte Werk 1798 gedruckt. Alle Exemplare, die-wir gesehen haben, tragen aber die Jahreszahl 1799 *).

Zu Berechnungsmethoden der Wurzeln durch Annäherung über-gehend, fangen wir mit einer Schrift, Observationes variae inmathesin puram 2 ), von J. H. Lambert an, welche die Gleichungs-theorie berührt. Formeln für die Berechnung von Summen derWurzelpotenzen und der Wurzeln selbst werden hergeleitet. In0 = x m — Ax™ -1 + Bx m ~ 2 — • • • — Ix -f- K setze man für x nach-einander die Wurzeln a, ß, y, . . dann wird durch Addition dieser

Ausdrücke J'r" i = A -1 — BJr' n ~ 2 -f- • • ■ + 1 fr — »iK, wo Jr" 1die Summe der j» te “ Potenzen der Wurzeln bezeichnet und m nach-einander die Zahlen 1, 2, 8 , . . . vorstellen kann. Um LambertsNäherungsmethode zu kennzeichnen, setze man in 0 = a — bx + ca; 2— - • - + px m ; x = k + y und verwerfe alle Glieder, die y 2 , y 3 ,.. . ent-

, ,, , , 7 , »— ck- 4- 2dk* -- — ( m —1 )pk m

halten , wodurch man x = k 4- q = ----

b — 2ck Sdk* - mpk m ~ 1

erhält. Wenn k irgend eine Zahl ist, gebe diese Formel eine Zahl,welche ein Näherungswert für die dem k nächstliegende Wurzel sei.Sind alle Wurzeln positiv, dann setze man — k gleich dem Koef-fizienten von x m ~ ’, und man erhalte einen Näherungswert für diegrößte Wurzel, während k = 0 einen für die kleinste liefert.

Lambert erwähnt noch eine zweite Näherungsmethode als einesehr natürliche und einfache. Es sei x 2 + px = q, dann ist q > p.c,x <q:p, 3r < q 1 : p-, x 2 + px < q- : qr + px > q, x>q:p — tf : p 3 ,U .- 2 > q- : p- - 2 q 3 : p 4 -f q 4 : p 6 , x 2 + px > q- : p 2 — 2 q 3 : p* -f- : p s

4- px < q, x < q : p — q 2 : p 3 2 q 3 : p 3 — j)* : p~, etc. Auf diese Weiseerhält er obere und untere Grenzen für x in der quadratischen undauch in der allgemeineren Gleichung ax n + bx 1 = <7, welche sich aufdie Form x m + px = q reduzieren läßt, Für x m + px — q schließter dann, daß

x = q : p — : p

1 -f- »iq 2 ' n ~ 1 : ]r + 1

Hi (3 Hl — 2)

■: p 3 ^ i etc.,

eine Reihe, die konvergiere, wenn (m — \) m ~ y p m > m' H q"‘~ 1. Alsokonvergiere diese Reihe für den irreduktiblen Fall von x 3 + px = <pNun läßt Lambert die Bemerkung folgen: „Qui Casus praecise illumcomplecitur, qui hactenus nullo modo perfecte solvi potuit. V. Cel.Clairaut, Eiern. Algebr. P. V. § 8 ‘‘, woraus zu ersehen ist, daß

') Mau sehe auch E. Bortolotti, „Paolo Ruffini“, Annuario della K. uni-versitä di Modena 1902 — 1903, p. 12; Carteggio in Mem. d. Soc. ital. d. Scienze,S. 3*, T. XIV, 1906. *) Acta Helvetica, Basileae, Vol. IH, 1758, p. 128—168.