Algebra.
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Lambert 1758 zwischen einer algebraischen Auflösung und solcherdurch Näherungsmethoden noch keine scharfe Grenze zog. Obige Reihefür die Wurzeln trinomischer Gleichungen führt den Namen Lamberts.
Im Jahre 1759 veröffentlichte Johann Andreas v. Segnereinen Methodus simplex et universalis, omnes omniumaequationum radices detegendi 0, welcher die Kurve der Glei-chung graphisch zu erhalten lehrt. Soll z. B. die Kurve der kubischenGleichung Az 3 + Hz 2 -f Cz -+- D = y gefunden werden, dann zieheman PO, TS, BQ auf 31N senk-recht. wo OQ = 1 und OS = z.
Die Koeffizienten I), C, B, A derGleichung sind durch die StreckenOlt, DO, CH, BA dargestellt.
Man ziehe Aa || J IX, dann zieheman Ba, und durch den neuenPunkt b pc || 31N. Durch Cc er-hält man den Punkt d undqe || 31N. Auf ähnliche Weiseerhält man die Linie De und den j/_
Punkt /’. Es ist nun fS = // undf ein Punkt der Kurve; denn durchdie Betrachtung ähnlicher Dreiecke i'ig i.
findet man leicht pC = Az -f B, ql) — Az- + Bz + C, fS = Az 3~h Bz- + Cz + 1). Für jeden neuen Wert von z oder OS erhältman einen neuen Punkt der Kurve. Wo diese Kurve die Linie MNschneidet, hat man eine reelle Wurzel der Gleichung Az 3 + Bz 2 + CzD = 0; wo sie eine Minimum-Ordinate zeigt, ohne an dieser Stelledie Linie 31N zu erreichen, wird eine imaginäre Wurzel angezeigt,ohne jedoch deren W ert anzudeuten. Es wäre wünschenswert, sagtSegner, solche Kurven mechanisch beschreiben zu können. Die Er-findung eines solchen Verfahrens scheine ihm aber so schwer, daß eres nicht versucht habe.
Die numerische Auflösung der Gleichungen ist ein Gebiet, wofürLagrange sich sein Leben lang interessierte. Seine erste Arbeitdarüber führt den Titel Sur la resolution des equations nume-riques 2 ). Den Satz für die Bestimmung des ganzzahligen Näherungs-wertes einer Wurzel, daß zwischen p und q wenigstens eine reelleWurzel einer Gleichung f'(x) = 0 liegt, wenn f(p) und f(q) entgegen-gesetzte Zeichen haben, beweist er ohne den damals üblichen Hinweis
sL
a
p
q
B
V
r?
r
n
0
s
a
p
T
n