Abschnitt XX.

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aut' die Kurventheorie, indem er in dem Ausdruck (x — «) (x — /!)•••= 0 (a, ß, . . . Wurzeln), x = p, dann x = q setzt und die zwei Er-gebnisse vergleicht. Substituiert man für a die Glieder der Pro-gression 0, D, '21),. . wo D kleiner als die kleinste Wurzeldifferenzsein muß, so ist man imstande die Lage aller reellen Wurzeln zubestimmen. Das Schwierigste ist, den Wert von J) zu berechnen.Lagrange hat dafür drei Methoden angegeben; eine 1767, eineandere 1795, die dritte 1798. Die erste stützt sich auf die Gleichung,deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeldifferenzen von f(x) = 0 sind.Von dieser Hilfsgleichung leitet er die Anzalil von imaginären Wurzelnab. Man wird sich erinnern, daß schon früher Waring diese wichtigeHilfsgleichung abgeleitet hatte; Lagranges Exposition ist aberviel eleganter. Warings Schriften waren Lagrange 1767 nochnicht bekannt.

Gleiche Wurzeln werden durch die Divisionsoperation zur Ent-deckung des größten gemeinschaftlichen Teilers von f(x) und f (x)bestimmt. Allgemeine charakteristische Beziehungen zwischen denKoeffizienten von f{x) = 0 für den Fall, daß f(x) und f (x) einengemeinschaftlichen Teiler haben, oder f(x ) eine vorgeschriebeneAnzahl mehrfacher Wurzeln besitzt, werden von Lagrange wederhier noch in späteren Schriften entwickelt. Hätte er sein beliebtesWerkzeug, die symmetrischen Funktionen, auf die Vervollkommnungder Theorie der mehrfachen Wurzeln angewandt, so wäre er nachder Ansicht Sylvesters 1 ) auf einem Rückwege sehr wahrscheinlichauf die Entdeckung des Sturm sehen Satzes gekommen. Die Be-rechnung der negativen Wurzeln in der Gleichung für die Quadrateder Wurzeldifferenzen liefert Lagrange die Werte ß, welche in denimaginären Wurzeln u -)- iß der vorgelegten Gleichung erscheinen.Um « zu finden, setzt er in die vorgelegte Gleichung x = a -4- iß, underhält durch Trennung der reellen und imaginären Glieder zwei Glei-ehungen, die für denselben Wert von ß einen gemeinschaftlichenTeiler haben. Setzt man denselben gleich Null, so kann man cc berechnen.

Es ist bemerkenswert, daß Lagrange die Kettenbrüche mitVorliebe als ein Mittel zur Wurzelberechnung von bestimmten, sowieunbestimmten Gleichungen angewandt hat. Für erstere beschreibt ereine ganz neue Näherungsmethode. Ist p der erste Näherungswert

einer Wurzel a von f(x) = U, setze man x = p + * , dann in der

resultierenden Gleichung /’(;/) = 0, // = </-{- \, ferner in f(z) = 0,

z = r + — usw. Es ergibt sich daraus ein Kettenbruch für denn

Thilosophical Magazine, Yol. IS, 1841, p. 24D.