Algebra.

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Wert von x, welcher alternierend zwei Arten von Näherungsbrüchendes x liefert. Die Werte der einen Art sind alle > «, die der anderenArt sind alle < a. Die Eigenschaften dieser Ausdrücke werden mitMeisterhand entwickelt. Bei einer rationalen Wurzel wird der Ketten-bruch endlich und liefert den genauen W ert derselben. Bei einerirrationalen W urzel kennt man bei jeder einzelnen Annäherung dieGröße des Fehlers, was bei der New ton sehen Methode bekanntlichnicht der Fall ist.

Fm diese Schrift zu ergänzen und seine Methode zu vereinfachen,schrieb Lagrange Additions au memoire sur la resolutiondes equations numeriques 1 ). Die Gleichung der quadriertenW'urzeldifferenzen wird vollständiger besprochen. In derselben kanndie Anzahl imaginärer Wurzelpaare die Anzahl Zeichenfolgen nichtübersteigen. Durch bloße Besichtigung der Zeichen kann man ent-scheiden, ob die Anzahl reeller Wurzeln eine der Zahlen 1, 4, 5, 8,9, 12, 13,. . ., oder ob sie eine von 2, 3, 6, 7, 10, 11,. . . ist. Diesesgenügt, die ganze Anzahl von reellen und von imaginären Wurzelnin allen Fällen zu entscheiden, wo der Gleichungsgrad nicht höherals 5 ist, und wo für höhere Grade man im voraus weiß, daß nichtmehr als 4 imaginäre W urzeln Vorkommen.

Es folgen ihn Wendungen auf die vier ersten Grade. Bei derKettenbruchentwicklung der numerischen Wurzeln wird hervor-gehoben, daß auch ein unendlicher Kettenbruch den genauen Wurzel-wert liefert, wenn nur dieser Bruch periodisch ist. Daß jeder perio-dische Kettenbruch auf eine quadratische Gleichung zurückgeführtwerden kann, war längst bekannt; der inverse Satz wird aber hierzum erstenmal demonstriert. Den Spezialfall, x 2 = c, hatte Euler früher 2 ) ohne Nachweis angeführt, wo ]/c zu einem periodischenKettenbruch entwickelt wurde.

Obschon die Näherungsmethode von Lagrange theoretisch vor-trefflich ist und vor älteren Methoden den Vorteil besitzt, immermit Sicherheit zum Ziele zu führen, so daß Lagrange mit Recht be-haupten konnte, „cette methode ne laisse, ce me semble, rien ädesirer", besaß sie für praktische Zwecke geringen Vorteil, denn dieW r urzel wird in der Form eines Kettenbruchs ausgedrückt und dieBerechnung derselben ist mühsam.

Ein W 7 erk, Traite de la resolution des equations engeneral, von,]. Raym. Mourraille in Marseille 1768 herausgegeben,behandelt hauptsächlich die Auflösung von Gleichungen durch An-näherung. Während vierzehn Jahren, bis 1782, war Mourraille

’) Memoires de l’aead. roy. des Sciences, annde 1768, T. 24, Berlin 1770,p. 111 —180 = Oeuvres, T. 2, p. 581—652. *) N. Comm. Petr. XI, 1765.