Algebra.

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In einer Untersuchung, Observationes circa radices aequationum 1 ), leitet L. Euler eine Reihe ab, welche die größte WurzelA B

einer Gleichung l = 4- ausdrückt, und erhält dann durch Im -

° x x- ’

A B

duktion die entsprechende Reihe für 1 = 4- -|-Er schreitet nun

x' x“

zu quadrinomischen und endlich zu allgemeinen Gleichungen undzeigt, daß nicht nur irgend ein Wurzelwert, sondern auch irgend einePotenz eines solchen durch Reihen dargestellt werden kann.

In der Abhandlung, Observations analytiques 2 ), erzähltLambert, daß er seine 1758 in den Acta Helvetica gedruckte Be-handlung von trinomisc-hen Gleichungen hei seiner Ankunft in Berlin ,1764, Euler und später auch La grau ge mitteilte, worauf Euler diese Resultate auf quadriuomische Gleichungen 0 = x' n + ax" 1+ bx p + c übertrug und Lagrange auch die allgemeinere Gleichung« — x -f <p(x) = 0 (wo (p (x) irgend eine Funktion ist) untersuchte 3 ).Dieses Thema führt nun Lambert weiter fort. Iu einer Gleichung<p(y) = i>(x, y) soll x oder irgend eine Funktion von x oder von ,rund y mittels der Differentialrechnung in Reihenentwicklung durchy bestimmt werden.

In der ersten von den zwei 1776 eingereichten Abhandlungen 4 1spricht Euler anerkennend von der Lambert sehen Reihenentwicklung der Wurzelwerte einer trinomischen Gleichung. Die zwei Abhandlungen stehen in enger Verbindung mit der letzten von uns an-geführten Eulerschon Schrift Observationes circa radicesaequa tionum. Hier wie dort sollen nicht nur die Wurzeln selbst,sondern auch irgendwelche Potenzen derselben durch Reihen dar-gestellt werden; die Reihenentwicklung sucht er nun zu verein-fachen und zu präzisieren und von allem Mysterium zu befreien. DieSchriften von Lagrange über Auflösung der Gleichungen durchReihen erwähnt Euler nicht.

In dem Aufsatze Eulers, Xova ratio quantitates irratio-nales proxime exprimendi, 5 ) werden rasch konvergierende Reihen

entwickelt, um Irrationalgrößen JY * = (a r -{- b) v = a" (4 + -- ) r zu

*) N. Comm. Petr. T. XV pro anno 1770. Petropoli 1771, p. 51 — 71.*) N. memoires de l’acad. roy. des Sciences, aunee 1770. Berlin 1772, p. 225—244.^ Man sehe „Nouvelle methode pour rdsoudre les equations litterales par lemoj’en des series“. Memoires de Berlin t. 24, 1770 = Lagrange, Oeuvrest. LL1, p. 5—73 und „Sur le probleme de Kepler“ ebenda, t. 25, 1771 = Oeuvrest. ITI, p. 113—138. 4 ) X. Acta Petr. IV, 1786, p. 55—73, p. 74 — 95.

s ) N. Comm. Petr. T. XVIII pro anno 1773. Petropoli 1774, p. 13G — 170.

Cantob, Geschichte der Mathematik IV. 10