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Abschnitt XX.

berechnen. Wenn die Binomialentwicklung von (l-f-af)" durch1 — ax multipliziert wird, erhält man

(1 + x) n = (l -f Ax + Bx 2 + •••): (1 — uxj.

Setzt man nun A = 0, wird

u = n und der Näherungswert =

1

1 — nx

Setzt man statt dessen B 0, wird u

und der Näherungs-

wert — •'+(» + l) x usw Euler verfährt auf ähnliche Weise, indem2 — (n — l)x ’

er statt 1 — ax den Nenner 1 — ax + ßx i und später noch irgendein Polynom nimmt. Die Brauchbarkeit der errungenen Formelnwird durch Aufgaben in der Wurzel-, Logarithmen- und Exponential-berechnung erläutert.

In einer Abhandlung, Methodus generalis investigandi radicesomniuui aecjuationum per approximationem 1 ), die Euler schon1776 einreichte, soll eine Wurzel z der Gleichung Z=0 berechnet werden.Setzt man für z den Näherungswert v ein, so erhält man einen Aus-druck Z = V, wo V eine bekannte Funktion von v ist, welche fürv = z verschwindet. Umgekehrt ist v eine Funktion von V, also

etwa v = U: U. Nun ist U: (D-f- a) = v + ap + * er? + • ■ woP = 7= dy*> ^ en " a = — V, so erhält man die Reihe

r = V-pV -f

qV 2 — • welche in der Berechnung von 'Wurzeln

anwendbar ist. Die Konvergenz der Reihe wird nicht untersucht.Ein Nachteil der Methode besteht darin, daß man nicht weiß, welchenGrad der Genauigkeit man erreicht hat.

In den Riflessioni sul Metodo di risolver l’equazioni .numeriche proposto dal Sig. De-la-Grange 2 ) hebt der PadreStanislao Canovai (1740—1811) hervor, daß die Hauptteile derLagrangeschen Theorie schon früher von Waring und anderenentwickelt worden und versucht dann eine einfachere Entwicklung

O

dieser Theorie zu geben.

Lagrange schrieb 1777 an Lorgna, 3 ) daß seine Untersuchungüber die numerische Auflösung der Gleichungen aus den Jahren 1767und 1768 von Mathematikern größere Aufmerksamkeit verdiene alssie wirklich erhalten habe. Nach der Veröffentlichung seiner SchriftDe la resolution des equations numeriques de tous les«legres, Paris , an VI (1798), schickte Lagrange ein Exemplar an

') X. Acta Petr. T. VI, ad ann. 1788. I’etropoli 1790, p. 16—21. s ) Attidell’ accademia delle scienze di Siena detta de’ Fisio-Critici, Tomo VII, 1794.p. 29—45. Lagrange, Oeuvres T. XIV, p. 253.