Algebra.

147

Pietro Paoli mit der Bemerkung: „Es enthält meine alten Memoirenüber die Auflösung numerischer Gleichungen, ... mit mehreren Notenüber diese Memoiren, sowie auch über andere Punkte der Gleichungs-theorie. Ich fügte jene Noten bei, um die Aufmerksamkeit von Mathe-matikern auf diesen wichtigen Gegenstand der Analyse zu richten,welchen sie beinahe verlassen zu haben scheinen. 1 ' 1 ) Die zwei erstenNoten enthalten Verbesserungen in den Beweisen der Fundamental-sätze, 1) daß zwischen a und b, wo /■(«) = + und f(jb) = —,wenigstens eine reelle Wurzel liegt, (2) daß, wenn eine reelle Wurzelzwischen a und b liegt, f(a) und f(b t entgegengesetzte Zeichenhaben. Einen ähnlichen Zweck hat Note III, worin er die Gleichungder Wurzelditferenzen behandelt. Hier werden die Arbeiten vonWaring erwähnt und daraus die Gleichung, deren Wurzeln diequadrierten Wurzelditferenzen der Quintik sind, entnommen. Lagrangeselber hatte die Koeffizienten dieser Gleichung nie berechnet. Eswird dann in Note IV das Problem weiter untersucht, eine Zahl 1>zu finden, die kleiner als die kleinste Wurzeldifferenz ist. Die ersteBerechnungsweise von 7) wurde von ihm 1767 erklärt; die zweitewurde 1795 in Vorlesungen auf der Normalschule vorgetragen. 2 ) Diedritte ist eine Modifikation der zweiten und nicht ganz so schwer-fällig. Die Annäherungsmethoden von Newton und Kaphsonwerden in Note V kritisch untersucht. Es stellt sich heraus, daßNewtons Methode mit Sicherheit nur zur Berechnung der größtenoder kleinsten reellen Wurzeln derjenigen Gleichungen dient, inwelchen der reelle Teil a jeder imaginären Wurzel u + iß zwischender größten und der kleinsten reellen Wurzel liegt. Zunächst werdendie Annäherung durch rekurrente Heihen und die FontainesclieAuflösungsmethode untersucht. Er zeigt, daß Fontaines Verfahrenselbst für Gleichungen niedrigen (z. B. dritten) Grades nicht immerzum Ziele führt. Es folgen dann Noten mit historischen Angabenüber Wurzelgrenzen, die Keellität der Wurzeln und die Möglichkeit,alle imaginären Wurzeln einer Gleichung in der Form a + Y — 1 bauszudrücken. Note X betrifft die Zerlegung eines Polynoms inreelle Faktoren, Note XI weitere Approximationsformeln zur Berech-nung der Wurzelwerte. Die letzte Note behandelt Transformationen,welche Gleichungen liefern, in denen alle x enthaltende Gliedereinerlei Zeichen haben und das absolute Glied das entgegengesetzteZeichen besitzt.

*) Memorie della regia accad. di scienze in Modena , Serie III. T. I, 1898.p. 109. *) Seances des ecoles normales. T. 3, p. 460 = H. Niedermüller,

op. eit., p. 90—97.

10