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Abschnitt XX.

Eine geometrische Methode, die Wurzeln von Gleichungen zubestimmen, wird von Teodoro Bonati (1724—1820), einem inFerrara gebürtigen italienischen Arzte, beschrieben 1 ). Die Natur undLage der Wurzeln soll durch die Gleichungskurve bestimmt werden.Um diese zu zeichnen, wird die Gleichung anfangs durch Trans-formation von dem vorletzten Gliede befreit. Hat man z. B.

r i — bax i -\-bcx 3 — bhx 3 + i = 0 und setzt man ^ = 0, so hat

man auch x = 0 und man hat auf der Y-Achse einen Maximum- oderMinimumpunkt der Kurve, welcher zur bequemeren Zeichnung derKurve dient. Die übrigen solcher Punkte werden durch Verschiebungder Y-Achse nach rechts oder links gefunden. 2 )

Unter den Spezialuntersuchungen über Gleichungstheorie bringenwir in erster Linie die Diskussion über den irreduktiblen Fall in derLösung von Kubikgleichungen. Zahlreiche Schriften über diesenGegenstand wurden verfaßt, besonders in Italien . Obschou keineneuen Resultate gewonnen wurden, war die Diskussion doch nichtohne Erfolg, denn viele Mathematiker überzeugten sich allmählichvon den Vorteilen, welche imaginäre Größen in der Gleichungstheoriegewähren. Lagrange schrieb an Lorgna 1777 aus Berlin : 3 ) „Alseinen der wichtigsten Schritte, welche die Analyse in letzter Zeitgenommen hat, erachte ich, daß sie durch imaginäre Größen nichtlänger in Verlegenheit gesetzt wird, und daß dieselben der Rechnuugunterzogen werden, eben wie reelle Größen.“

Allgemeine Gesichtspunkte werden nicht ohne Mühe erreicht.Als Beispiel dient die Äußerung, die in dieser Zeit gelegentlich ge-macht wurde, daß die Algebra keine allgemeine Auflösung kubischerGleichungen kenne 4 ).

Ein bloßer formaler Ausdruck, wie die Del Ferrosche Formelfür den irreduktiblen Fall, welcher numerische Wurzelwerte zu be-rechnen nicht gestattete, wurde nicht selten von algebraischenLösungen ausgeschlossen. Blassiere ist der Ansicht, daß, obschoneine allgemeine Lösung von x 3 + qx + r = 0 nicht möglich sei, erdie Möglichkeit einer allgemeinen Lösung von x 3 px 3 -f- qx -j- r = 0doch nicht leugnen möchte.

*) Memorie di Matematica e Fisica della Societä Italiana, Tomo VIII, Ft. I,Modena 1799, p. 231—272. *) Abhandlungen von P. Franchini und

T. V. de Caluso in Memoires de l’acad. de Turin , annee 1792 ä 1800, T. VI,werden hier ausgelassen, weil erst 1800 gedruckt. ’) Lagrange, Oeuvres,

T. XIV, p. 201. 4 ) Z. B. Paoli Frisii operum tomus primus algebram et

geometriam analyticam continens, Mediolani 1782, p. 269, und J. J. Blassiere inVerhandel. uitgegeeven door de Hollandsche Maatscliappye der Weetensch. teHaarlem , VIII. Deels I. Stuk, 1765, S. 197—220.