Zahlentheorie. 153

Imaginäre in der C'ardanschen Wurzelforra von der Annahmex — y -j- z unabhängig sei.

Als Einzeluntersuchung über Gleichungen ist noch anzuführeneine Schrift, De aequationibus indefinitis, deque methodoindeterminatarum 1 ), von Gregorio Fontana , über die Aufgabe>n Eulers Anleitung zur Algebra 2 ), eine reelle Wurzel der

Gleichung mit unendlichen Exponenten x x —a a_I — x x ~ 2 -1 =0

zu finden. Man schreibe die Gleichung x x + (1 — x x ) : (x — 1) = 0

oder x x + 1 — 2.r* + 1 = 0, oder x — 2 -f- = 0 und es sei dann

klar, daß x — '2 sei. Die Lösung der Gleichung 1 -f- 2x + 3a 2 + •••b (n + 1 jx n = 0 hänge von der Lösung der Trinomialgleichungf» -f- l)a" +2 — (h 2)a’ l + 1 -“-1=0 ab, wie aus der Division1 : f 1 — a) 2 zu erselien sei.

Zahlentheorie.

Am Anfänge unserer Zeitperiode ist L. Euler noch immer dereinzige hervorragende Mathematiker, welcher sich mit der Zahlen-theorie beschäftigte. Die erste seiner hierher gehörigen Schriftengibt die Auflösung der simultanen Gleichungen x + >1 + z = u' 2 fcy + xz -f- yz = r 2 , xyz = w 2 . 3 ) Euler bemerkt, daß er an derAuflösung dieses Problems beinahe verzweifelte, so viel Mühe habeihm dieselbe gekostet. Wie wir bald sehen werden, hat er späterdiese Aufgabe auf vier Zahlen x , y, z, s ausgedehnt und noch anderebedeutend schwierigere unbestimmte Gleichungen dieser Art gelöst.Die kleinsten von Null verschiedenen ganzen Zahlenwerte für x, y, zim gegenwärtigen Problem sind

a- = 1633780814400, y = 252782198228, g - 3474741058973.

\\ enn diese durch 2315449" dividiert werden, erhält man Bruchwertevon x, y, z.

Iin gleichen Bande kehrt Euler in der Schrift Theoremataarithmetica nova methodo demonstrata 1 ) zum Studium derPotenzreste zurück, die er schon ein Vierteljahrhundert früher beiBetrachtungen über den Fermatschen Satz untersucht hatte. Ererforscht die durch Division der sukzessiven Glieder arithmetischer

‘) Atti dell’ accademia delle seieuze di Sieua, T. VI, p. 184—191.*) 2. TI., 1. Abscli., Kap. 16, § 239. s ) N. Comin. Petr. VIII, 1760—Gl,

p. 64—73 = Comm. Arith. I, p. 239. *) N. Comin. Petr. VIII, 1700—61,

p. 74—104 = Comin. Arith. I. p. 274.