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Abschnitt XX.

und geometrischer Reihen erhaltenen Reste, und erhält den wohl-bekannten Ausdruck für die Anzahl der Zahlen, die prim zu einergegebenen Zahl und nicht größer als dieselbe sind. Ist die gegebeneZahl das Produkt dreier ungleichen Primzahlen p, q, r, dann ist dieseAnzahl = (p — l)(q —l)(r — 1). Dieser Ausdruck, dessen Verallge-meinerung Euler andeutet, wird öfters die „Eulersclie Funktion“genannt. Am Ende der Schrift findet er folgende Erweiterung desvon ihm in früheren Jahren schon zweimal bewiesenen FermatsehenLehrsatzes: Wenn A T prim zu x ist und n die Anzahl der Zahlenbezeichnet, die prim zu N und nicht größer als A 7 sind, so ist x” — 1immer durch N teilbar.

In einer dritten Arbeit über Zahlentheorie in diesem Bande, nämlichSupplementum quorundam theorematum arithmeticorum,quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur 1 ) sind dieEigenschaften ganzer Zahlen von der Form er + 3 fr entwickelt undauf das Problem angewandt, drei Kubikzahlen zu finden, derenSumme eine Kubikzahl ist, sowie auf die Vervollständigung seinesBeweises des berühmten Fermatscheu Unmöglichkeitssatzes überx n + y n = z", für den Fall » = 3. Man wird sich erinnern, daßschon zweiundzwanzig Jahre früher Euler , für den Fall n = 4, denUnmöglichkeitsbeweis geliefert hatte. (Bd. IIP, S. (113.)

Im Aufsatze De resolutione forinularum quadraticaruuiindeterminatarum per numeros integros 2 ) wird die Auffindungrationaler oder ganzzahliger Werte von x und // der Gleichung«z 8 + ßx + y = »/'" betrachtet, ohne daß allgemeine Gesichtspunkteerreicht würden. Großes Gewicht legt Euler auf folgenden Satz:Wenn die Gleichung ux 3 + p = y 3 für x = a und y = b, und dieGleichung ax 3 + q = y 3 für x = c, y = d erfüllt sind, dann sindx = bc +ad und y = bd + aac Lösungen von ax 2 + pq — y 3 . WäreEuler die Zahlentheorie der Inder zugänglich gewesen, würde erdiesen schönen Satz schon in den Arbeiten von Bhaskara gefundenhaben 3 ).

In seiner Schrift De numeris primis valde magnis 4 ) ver-gleicht er die Auffindung des Gesetzes der Verteilung der Primzahlenmit dem Problem der Quadratur des Kreises: beide gehen über unsereFassungskraft. Daß die Ferm ätsche Formel '2 3n + 1 immer Prim-zahlen darstelle, hatte Euler in seinem allerersten 1732—33 er-

x ) N. Comni. Petr. VIII, 1760 et 1761, p. 105—128 = Comm. Arith. I.p. 287. s ) N. Comm. Petr. IX, 1762—63, p. 3—39 = Comm. Arith. I,

p. 297. *) H. Hankel, Gesch. d. Math, in Alterth. u. Mittelalt., Leipzig 1871.

S. 200. 4 ) N. Comm. Petr. IX, 1762—63, p. 99—153 = Comm. Arith. I,

p. 356.