Zahlentheorie.
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schienenen Aufsatze über Zahlentheorie Q widerlegt. Nun zeigt er,daß es keine algebraische Funktion X a + ßx -f- yx 2 + • • • gebe,welche nur Primzahlen darstelle; denn, wenn x = a und-1 = « + ßn -f- ya 2 + • • ■, erhält man im Falle x — nA + « für Xeinen AVert, der durch A teilbar ist. Die Schrift endet mit mehrerenTabellen. Die erste enthält alle Primzahlen nicht größer als 1997und von der Form 4n -f- 1 > jede als die Summe zweier Quadrate aus-gedrückt, sowie die AVerte von a, welche das Binom a 2 -fl durchdiese Zahl teilbar macht. Drei andere Tabellen folgen. Diese zeigen,welches fleißige empirische Studium Euler der Zahlentheorie widmeteund wie es Euler möglich wurde, viele Lehrsätze durch bloße Anschauung zu entdecken.
Um die Lehre von den Kettenbrüchen leichter darzustellen und,im besonderen, um Gesetze zu entdecken, welche die Auffindungirgend eines Näherungswertes ohne die Berechnung aller voran-gehenden gestatten, schuf Euler in einer Schrift, Specimenalgorithmi singularis 2 ), einen eigenen Algorithmus und dazupassende Rechnungsregeln, welcher er sich in einer drei Jahre spätergedruckten wichtigen zahlentheoretischen Schrift, De usu novi
algorithmi, bediente 3 ) Ein Kettenbruch a -f- j*—p-- wird durch das
Symbol
a, 6, c, d , e etc.)(6, e, d , e etc.)
c
dargestellt; ein unendlicher Kettenbruch durchMan hat hier (a, b, c, d, e) = e («, b, c, d) + (a, b, c), auch
(a, b,c,d,c) = (e,d,c, b,a). Da nun (a, b,c, d) (1>,c, d,e ) — (b,c,d) (a,b,c, d,e)= (o, b, c, d) e (b, c, d) + («, b, c. d, e ) (b, c) — (b, c, d)e(a, b, c, d) — (b,c,d) (a, b, c )= — { (a,b,c)(b,c,d) — ( b , c )(a, b,c,d)} = + 1, weil (a) (b) — 1 (a, b) = — 1ist, läßt sich der Nachweis führen, daß die sukzessiven Näherungs-
brüche sich dem wahren AA'erte
nähern. Denn man hat
(«) (a,b)
des Kettenbruchs mehr
1 (“> h l _ KM _
(py
und mehrl
usw.
1 (ft) 1(6)’ (ft) (ft,c) (ft)(ft,c)'Zieht man letztere Gleichungen zusammen, so hat man die Entwicklungdes Kettenbrücke in einer Reihe. Euler erhält durch InduktionFormeln dieser Art («, b, c, d) (e, f, <j, li) — («, b, c, d, c, f, g, h \ 1 =— (ci,b,c)(f,g,h), ( a,b,c,d,e)(c,d,e,f,g,h ) — ( a,b,c,d,e,f,g,li){c,d,e ) =4 - (n)(ß,b) und lehrt derartige Formeln in beliebiger Anzahl hinzu-