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Abschnitt XX.
schreiben. Er wendet seinen neuen Algorithmus auf die Bestimmungder Differenz zweier beliebiger Näherungswerte an. Wie Güntherhervorgehoben hat 1 ), bedient sich Euler „zur Zerlegung seinerSymbole eines Verfahrens, welches ganz dem Zerfällen einer Deter-minante in ihre Unterdeterminanten entspricht“.
Wichtiger ist Eulers nächste Arbeit, De usu novi algorithmiin problemate Pelliano solvendo 8 ), welche eine neue Auflösungder Fermatschen Gleichung x 2 — Dy' 2 = 1 (irrtümlich die Pellsche-Gleichung genannt) gibt. Diese berühmte Gleichung, zuerst von denGriechen betrachtet, dann von den Indern aufgelöst und wieder vonneuem durch Fermat, Brouncker, Wallis entwickelt, würd in derzweiten Hälfte des achtzehnten Jahrhunderts von Euler undLagrange weiteren Untersuchungen unterworfen 3 ). Nachdem in demgegenwärtigen Artikel Euler gezeigt hat, daß die Auflösung nichtnur der Gleichung Ix 2 + mx + n = if , sondern auch der allgemeinerenGleichung zweiten Grades Ax 2 -f- 2 Bxy + Oy 2 + 2 Dx + 2Ey -f- F — 0,wo 7J 2 > AC angenommen wird, von der Auflösung der Gleichungder Form p 2 = lq 2 + 1 (l positive ganze Zahl) abhänge und dadurchdie Wichtigkeit der letzten Gleichung betont hat, erklärt er, wie dieAuflösung von p 2 = lq 2 + 1 durch die Entwicklung von y l in einenKettenbruch bedeutend erleichtert werden könne. Ohne Beweis nimmt
er an, daß, wenn ^ > |/Z, der Bruch eine Annäherung zum irratio-nalen Werte Yl liefere, die nicht überstiegen werden kann, ohnegrößere ganze Zahlen für p und q in Anwendung zu bringen. Ererklärt die Kettenbruchentwicklung zuerst an numerischen Beispielen,dann im allgemeinen wie folgt:
1
= v +
X
(1 -j- 1
b + i
c + l
d -|- etc.