Zahlentheorie.

157

a die größte ganze Zahl in V z + ^ oder ist, hat man a < * ^ -

Setzt man zweitens x = fl■ + - -, dann wird, da z = « 4- Ar ,

y ’ ’ ’

yz — A -f- au \z -f- B

V — 1 + 2 «^ -dTu = ~ß~ ’

wo B = na — A und ß = 1 + ni^A — 13). Weil h die größte ganze

in »/ enthaltene Zahl ist, hat man b < —f— Setzt man drittens

1 ^ a

ff = 6 + * und fährt in ähnlicher Weise fort, so erhält man diefolgende Tabelle von Euler:

Capiatur

tum vero

e r i t q u e

I. A = v

a = z — A 2 = z — v 3

t' -j- .1a < —i-

a

II. 7?= aa A

ß = z - 1{t =l+a(A

-B)

K' + "

III. C = /3b - B

y = z ~ C * - « + b(B

-C)

/

IV. I) = y C — C

b — — ß ß- c(C ■

-D)

«<’Y

V. E=ö d - l)

e = “ ^ = y -f d(I)

- E)

6

etc.

Wenn in der letzten Kolumne die Brüche in Wirklichkeit ganzeZahlen vorstellen, dann soll das Zeichen < durch = ersetzt werden.

_ £ 4 _ _

Da A = v und a <; , so hat inan B=acc — A<)v, /3>1,

b^2v. Folglich ist auch C = bß — B<^v etc. Durch die Indizesa, b, c, 1 1 etc. erhält mau also die ganzen Zahlen A, B, C, I) etc.,welche alle ^ v sind, sowie die ganzen Zahlen «, ß, y, d etc., welchealle ;> 1 sind. Aus der letzten Kolumne ersieht man nun, daß jederIndex a.b,c,d etc. <; 2v sein muß. Euler erklärt, daß, nachdemder Index 2 v erreicht wird, die Werte a, b, c, (l etc. sich wiederholenund die Entwicklung von neuem beginnt. Er gibt aber keinenBeweis, daß der Index 2 v notwendig existiert. Er zeigt an Bei-spielen, daß die Indizes a, b, c, d etc. und die Zahlen a, ß , y , d etc.sich periodisch wiederholen. Xur für die Form z = n 2 + 1 undsieben andere ähnliche Formen werden allgemeine Werte für dieIndizes und für die griechischen Buchstaben angegeben.