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Abschnitt XX.
Um mm p = Ylq 2 + 1 in ganzen Zahlen aufzulösen, werden ausden Indizes Näherungsbrüche nach dem in folgenden zwei Reihenersichtlichen Gesetze entwickelt:
Indizes v, n, b, c,
x 1 i; «nfl («fr + l)r + fr
~y 5’ 1’ a ’ «fr+ 1 ’
Dann wird ein abgekürzter Algorithmus für
m, n,
M X ii X± MP’ Q’ nQ+~P‘
eingeführt wie folgt:
1 (v) (t+a) (■v , a, 6) (», a, b^c) (p, a , fr, c, d)
0 ’ 1 ’ a ’ (a, 6) ’ (a, fr, c) ’ (a, fr, c, d) ’’
wo (t>,a) = «(tr) + 1; (;v,a,b) = b(v,a) + (v)-, (v,a,b,c) = c(y,a,b) + (v,a)
(a) = a 1 + 0; («, b) = b (a) + 1 •, (er, b,c) = c (a, b) + (a).
Euler teilt ferner mit, daß er folgende Transformationen bewiesenhabe:
(y,a,h,c,d,e) = v(u,b, c, d,e) + ( b,c,d,e)
(v, a, b, c, d, e) = (»,«) ( b , c, d, e) + v ( c , </, e)(y,a,b,c,d,e) = ( v,a,b)(c,d,e) + (v,a)(d,e)(v, a, b, c, d, e) = (v, a, b, c) (d, e) + ( v, a, b) (e).
Durch diese Formeln kann man sich die Berechnung beinahe derHälfte der Näherungsbrüche ersparen. Sind nämlich v, a, b, c, c, b, a, 2 vdie Indizes einer Periode und nimmt man mit Euler als bewiesenan, daß (a, b, c ) = (c, b, a) und bezeichnet die Näherungsbrüche durch
x i!!h, xjy-i, "'° x iiVi = 5 ist , so erhält man x s = x ilk + x i!U>
Vs = l/o 2 + Ui, ' v0 x b = (+ «, b, c), x i = (v,a,b ), y b = ( a,b,c) = (c, a, b),y t = (a, b) = (fr, a). Man braucht , x- und y 6 , y- gar nicht zu be-rechnen x ).
Es wird nun gezeigt, daß
| * = (»)i !) - (!)
( x = (r, a)
i l) = <«)
dann x 2 = irr/ 2 + 1,„ a : 2 = zy~ — «,
z 2 = zir + ß,