Zahlentheorie.

159

( x = {v,a,b) \

wenn < } dann x~

I y = (a, b) j

( *=(r,a,&,c) I s

j y = \ a,l), c) j " X

x = ( v,a,b,c,d) )

i. X“

y = ( n, b, c, d) J

etc.

Wird nun einer der Buchstaben ß, d etc. = 1, so hat inan eine Auflösungder Gleichung x 2 — zy 2 — 1. Aber keiner dieser Buchstaben kann- 1 werden, wenn nicht zugleich der entsprechende Index 2v wird.Wenn deshalb irgend eine Periode, die wir in der Anordnung derIndizes finden, den Wert 2v enthält und wir x und y den Näherungs-werten, welche der ersten Periode entsprechen, gleichstellen, erhaltenwir x 2 = zy 2 + 1 unter der Bedingung, daß die Anzahl der Indizes ineiner Periode gerade ist, und x 2 = zy 2 — 1, wenn diese Anzahl un-gerade ist. Im ersteren Falle haben wir direkt die gesuchte Lösung;im letzteren Falle soll man entweder zwei Perioden weiter gehen, woder Index 2v gerade ist und für x und y die Näherungswerte in derdritten Periode wählen, oder man soll p = 2x 2 + 1 und q = 2xysetzen. Dieses Verfahren liefert auf bequeme Weise die kleinstenLösungen von x 2 — zy 2 = 1. Da aber nirgends bewiesen ist, daß derIndex 2v notwendig vorkommt, ist man nicht sicher, daß die Gleichungaußer x = 1 und y = 0 wirklich Lösungen hat. Der englische Zahlen-theoretiker H. .7. S. Smith drückt sich über diese Abhandlung so

aus: „Euler beobachtete, daß ^ notwendigerweise ein Näherungswert

von yz ist, weshalb es genügt, um die Zahlen p und q zu erhalten,1 r z in einen Kettenbruch zu entwickeln. Es ist aber sonderbar, daßihm die Notwendigkeit nie eingefallen ist, zur Vervollständigung derTheorie zu beweisen, daß die Gleichung auch immer auflösbar seiund daß durch die Entwicklung von V'z alle Lösungen gegebenseien. Sein Memoir enthält alle für den Beweis nötigen Elemente;

CT 7

hier aber, wie in auderen Stellen, ist Euler mit einer Induktion ohnestrengen Beweis zufrieden'’ 1 ).

Dieser Aufsatz Eulers enthält zwei Tafeln. Die erste gibt die

CT

Entwicklung aller Zahlen unter 121, mit Ausnahme der Quadrat-zahlen, in Kettenbrüchen an; die zweite enthält für jeden nicht

') H. J. S. Smith, British Asm. lieport 1801, p. 315 = Collected worhs,Vol. I, Oxford 18114, p. 192.

= Z'f ~ V,= zy 2 4- d,= zy 2 — t