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Abschnitt XX.

quadratischen Wert von z zwischen 1 und 100 den kleinsten Wertvon x und y, welcher eine Lösung der Gleichung x s — zy- = 1 ist.

In dem Aufsatze Quomodo numeri praemagni sint explo-randi, utrum sint primi, nec ne 1 ) fährt Euler mit der Betrach-tung der Primzahlen fort und entwickelt Methoden zur Entscheidung,ob eine Zahl von der Form 4» + 1 prim ist oder nicht.

Wie früher (Bd. IIP, S. 617, 618, 719—721) klar gemacht wurde,verdankt man Euler die ersten Arbeiten über analytische Zahlen-theorie. Dieser Gegenstand wird nun in der Abhandlung De par-titione numerorum in partes tarn numero quam speciedatas 2 ) fortgesetzt. Aus seinen Ergebnissen heben wir nur hervor,daß er mit Hilfe der erzeugenden Funktion 1/(1 — x a y a ) (1 — x?y?)(1— x°y Y ) (1 — x rt y d ) etc. und der erzeugten Reihe 1 + Ax"y+ Bx"y + Cx"if + etc. die Folgerung zieht, daß, wenn darin einGlied Nx’'y v vorkommt, es M Lösungen der simultanen Gleichungenap + bq + er etc. = n, ap + ßq + yr etc. = v gibt, wenn aber diesesGlied fehlt, keine positiven ganzzahligen Werte für p,q,r etc. existieren.Die Entscheidung über die Anzahl Lösungen solcher Gleichungen istsomit auf das Studium der Koeffizienten X von x”y‘ zurückgeführt.Euler bemerkt, daß vormals Lösungen durch die regula virginum 3 )erhalten wurden.

In einer Abhandlung, Observationes variae in mathesinpuram 4 ), teilt J. H. Lambert unter anderem Sätze über rekurrierendeDezimalbrüche mit. Er beweist, daß bei teilerfremden Zahlen eineDivision mit einer Primzahl, außer 2 oder 5, stets einen periodischenDezimalbruch liefert, und daß alle periodischen Dezimalbrüche ausrationalen Brüchen entspringen, weshalb keine irrationale Größe durcheinen periodischen Bruch dargestellt werden kann. In seinenAdnotata quaedam de numeris eorumque anatomia 5 ) setzt erdiese Studien fort, gibt einen Beweis des schon früher von Leibniz und Euler bewiesenen Fermatschen Satzes und zieht daraus weitereResultate. Ist a eine Primzahl, aber niclit = 2 oder 5, dann stellt(10 a_1 —1) : a eine ganze Zahl dar; ist (10"* *— 1) : a eine ganze Zahl,dann ist entweder m durch a — 1 oder a — 1 durch m teilbar;

weshalb y nicht prim sein kann, im Falle daß ~ einen Bruch mit

’) N. Comm. Petr. XIII, 1708, p. 07—88 = Comrn. Aritli. I, p. 379.

*) X. Comm. Petr. XIV, I, 1709, p. 108—187 = Comm. Arith. I, p. 391.

®) Regula virginum = regula coecis = regula potatorum. Man sehe

Chr. Peschecks Deutliche Erklärung derer Kaufmann- und öconomischenRechnungen etc., Budissin 1759, S. 410. 4 ) Acta Helvetica, lol III, Basileae

1758, p. 128—108. 5 ) Xova Acta Eruditorum , Lipsiae 1709, p. 107—128.