Zahlentheorie.
161
wzahliger Periode liefert und g 1 durch m nicht teilbar ist.Lambert zieht auch die Folgerung, daß, wenn g — 1 Periodenzahlenvorliegen und .7 ungerade ist, g prim sein muß. Setzt man a = 2m -f 1,so ist (10"“ -f- 1) : « eine ganze Zahl 7 und (10 3m — 1) : a = IO" 1 # — 7 .Ist m nicht prim, so kann man es durch einen gewissen seiner Faktorenersetzen. Nimmt mau a = 13 und m = .1, so wird (10 :i + 1): 15!
= 77, 77000 — 77 = 76923, weshalb ^ = 0 , 076923, 076923 etc.
Wenn n nicht prim ist und 1 die Periodenzahl 2 m gibt, dann
haben a und 10 m + 1 einen gemeinsamen Faktor. Es folgen danneinige ähnliche aber längere Sätze, die zur Entscheidung, ob eine Zahlprim sei oder nicht, Anwendung finden können. Mehrere derselbensind nicht nur auf Dezimalbrüche, sondern gleichzeitig auf Brücheanderer Systeme anwendbar. Die Auffindung der Teiler einer Zahlwird von Lambert auch in einem Briefe an Oberreit besprochen 1 ).
Soweit ist Euler der einzige große Mathematiker des 18. Jahr-hunderts, der sich eingehend mit der Zahlentheorie beschäftigt hat.Nun erscheint die erste Arbeit von La grau ge auf diesem Gebiete.
Am 20. September 1768 vollendete er in Berlin seine Abhandlung Solution d’un probleme d’arithmetique 2 ). Darin wirdzum erstenmal ein strenger Beweis von der Lösbarkeit der Gleichungx i — ay- = 1 gegeben. Er kannte zu dieser Zeit die Arbeiten vonWallis über dieses Problem, aber nicht diejenigen Eulers. Um zuzeigen, daß die Gleichung immer ganzzahlig lösbar ist, entwickelt erya in einen unendlichen Kettenbruch
ya = 7 +
<1, f l, 2 ' e
1 m M m
brüche
•r + •
anzzahlig und positiv sind und erhält die Nälierungs-
worin m = q,M = qm + 1 ,
M' m" M"
0’ n’ JV ’ V’ 'y ’ n" ’ N"’
n=\, N = q'n, ri = q"N + n,
und
m' = 7 "M -f m, •
> y~a > , r = 0,1,2,... Er zeigt, daß .1/«* - = ZV > 0
"2 JlpO
und < ist, weshalb die unendliche Anzahl positiver, ganz
zahliger Werte Z, Z’, Z", ... nur eine endliche Anzahl untereinanderverschiedener Zahlen darstellen. Auch hat man »JO 2 — a 2 = gW ,