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Abschnitt XX.

2 7/t ^ 0

wo J- r > < 0 mul — z M < r -j-r + 1, so daß z, z 1 , z 2 , ... eine unendliche

Anzahl ganzzahliger, negativer Zahlen sind, wovon wie oben dieAnzahl verschiedener Werte endlich ist. Es gibt also unendlich vieleZahlen x, x, ... und y, y, ..., welche die Gleichung x 2 — ay 2 = Rbefriedigen, wo R irgend ein Wert Z oder z r ist. An dieser Stelleuntersuchte nun Euler die Werte Z (r \ £( r ); Eagrange schlägt abereinen anderen Weg ein und benutzt das schon den Indern bekannteLemma: Das Produkt von x 2 — ay 2 und x' 2 — ay' 2 ist (xx’ + ayy’) 2— a (xy' + yx’) 2 . Man hat also

(A), It 2 = (xx + ayy') 2 — a(xy' ± yx') 2 ,

auch

(R), R(jf- — y-) = {xy + yx){xy - yx').

Ist nun 11 prim, so muß nach (7 j') entweder xy + yx' oder xy' — yx'durch R teilbar sein; es sei xy' + yx' = qR, dann gibt (M),

R 2 = (xx + ayy’) 2 — aq 2 R 2 ,

und xx' + ayy ist durch R teilbar. Wenn xx' ± ayy’ = pR, so er-folgt sogleich 1 = p 2 — aq 2 . Für den Spezialfall, It prim, ist alsodie Lösbarkeit erwiesen. Dieses ist aber nur ein kleiner Teil derEntersuchung für den Fall, daß R und a teilerfremd sind. Gemein-teilige Werte von R und a sind einer besonderen Diskussion unter-worfen. Die zwei Fälle bieten bedeutende Schwierigkeiten dar; derBeweis, daß x 2 — ay 2 — 1 (wo a keine Quadratzahl ist) löäbar ist,wird aber allgemein erzwungen. Zu gleicher Zeit ist das Verfahren,eine Lösung zu finden, angedeutet.

Der zweite Schritt besteht darin, aus der kleinsten Lösung vonx 2 — ay 2 — 1 alle anderen abzuleiten. Ist p, q ein Wertpaar, so wird

1 = (p- _ aq 2 ) 1 " = \ p + 1 /aq) m (p — \aq) m = (x + ]/«//) {x — Yay i,und

__(/> + « V*) m + {p~<I V«)"‘x — 2

fi' + 9 V — 9 V a )"‘

2 Y a

Setzt man nun m = 1, 2, 3,. . ., so hat man eine unendliche AnzahlLösungen. Es folgt der Beweis, daß, wenn p und q die kleinstenLösungen sind, m = 2 die nächst größeren liefert usw., so daß inobigen Ausdrücken für x und y alle Lösungen eingeschlossen sind.

Der dritte Schritt ist der Beweis, daß alle Werte von x und y,welche der Gleichung x 2 — ay 2 = 1 genügen, unter den Zahlen