Zahlentheorie.

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M, M', . . . und X, X\ ... zu finden sind, daß also - immer einer

der Näherungsbrüche ist. Es wird nämlicb gezeigt, daß die AnnahmeA/M < p < J/( r + 0 NM < q < A^ r+1) auf einen Widerspruch führt.Daraus stammt eine zweite Lösungsmethode, der zufolge man dieNäherungsbrüche für y a berechnet und nacheinander die Zähler fürx und die Nenner für y setzt. Eine unendliche Anzahl dieser Zählerund Nenner werden der Gleichung x 2 — ay- = 1 genügen.

Lagrange ließ seiner am 20. September 1768 vollendetenLösung der Gleichung x 2 — ay 2 = 1 halt] eine noch wichtigere Schriftfolgen. Schon am 24. November gleichen Jahres legte er der Ber-liner Akademie die neue Abhandlung Sur la solution des pro-blemes indetermines du second degre 1 ) vor. Es wird hier dieunbestimmte Gleichung X = if — Bf, die obige als Spezialfall ein-schließt, gelöst. Aus der Einleitung geht hervor, daß nun Lagrangedie zwei Abhandlungen Eulers über diese Sache in den PetersburgerKommentarien der Jahre 1738 und 1764 gelesen hatte, aber EulersDe usu novi algoritlimi des Jahres 1765 noch immer nicht kannte.Lagrange betont die Wichtigkeit der Gleichung X = u 2 — Bt 2 , in-dem er zeigt, daß jede Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbe-kannten auf diese Form reduziert werden kann. Er liefert zuerst dieAuflösung dieser Gleichung, wenn a und t ganze oder gebrocheneZahlen sein können, dann die wichtigere Auflösung, wenn u und tganze Zahlen sein sollen. In der letzteren Auflösung wird zuerstbemerkt, daß, wenn A einen quadratischen Faktor o 2 hat, manu = Q2 ) > t = Q ( L M = p 2 a setzen kann, wodurch die vorgelegteGleichung in die Form a — pf — Bq 2 übergeht, wo p und q teiler-fremd sind. Wenn man alle möglichen teilerfremden Werte vonp und q in « = p' 2 — Bq 2 findet, so kann man daraus mittelsu = QP, t = Qq alle überhaupt vorhandenen Lösungen von A = u 2— Bf herleiten. Es sei also die Gleichung A = p 2 — Bq 2 vorgelegt,in der p und q ganze teilerfremde Zahlen sein sollen. Man hat zweiFälle, Jl positiv und B negativ. Für den Fall B positiv und zugleichA > Y I>, multipliziere man A = p 2 — Bq 2 mit A x = jh“ ~ wo

pq l — p v q — + 1 und u=pp 1 — Bqq t angenommen wird. Man er-hält MM, = cf — B. Nun sei der in der Kettenbruchentwicklung

von p dem P unmittelbar vorausgehende Näherungsbruch, dann wird

q q ° o >

Mem. de lacade'mie roy. des Sciences, annee 1767, Berlin 1769, p. 166bis 310 = Lagrange, Oeuvres, Tome II, Paris 186s, p. 377—636. Vgl. NettosAusgabe. Ostwalds Klassiker Nr. 146, Leipzig 1904.