L64
Abschnitt XX.
Pi — PP 32 m ! l l\ = Pi ± H > P irgend welche ganze Zahl sein kann.Es folgt u = 11 (pp* — Bq-) + ( p»i — Bqn) = wenn a = mp
■A -1
— Bqn ist. Man kann a < -- machen, und es wird .1, < ~. Es
muß dann « s — B durch A teilbar sein und einen Quotienten von derForm j\* — Bq / liefern, sonst ist die vorgelegte Gleichung unlösbar.Gibt es dagegen eine solche Zahl, so hat man eine neue Gleichung.lj = j\* — Bq* aufzulösen, wo A x < A ist. Ist letztere Gleichunglösbar, so kann man aus den bekannten "Werten von p x und q l dieWerte von p und q durcl; die Gleichungen cc=pp 1 — Bqq l undP'h — Pi'l = + 1 bestimmen. Sind p und q ganze Zahlen, dannist die vorgelegte Gleichung lösbar; sonst nicht. Um alle Lösungen
zu erhalten, muß man alle Zahlen a aufsuchen, die < j* sind, und
a* — B durch A teilbar machen. Auch muß jede der entstehendenGleichungen A x =p* — Bq* einzeln untersucht werden. Es wirddann erklärt, wie man aus einem den Bedingungen genügenden Wertevon « alle anderen bestimmen kann. Es stellt sich heraus, wenndie Anzahl teilerfremder Faktoren von A, die Primzahlen oder Prim-zahlpotenzen sind, gleich v ist, daß die Anzahl der Werte von agleich 0 oder gleich 2" -1 ist. Unter Faktoren mit gemeinsamenTeilern braucht man nur solche zu nehmen, deren größter gemein-scliaftlicher Teiler 2 ist. Es wird ferner die Gleichung A 1 = p* — Bqfgenau so behandelt, wie es bei A = p- — Bq 2 der Fall war. IhreLösung wird auf .1., = pj — JiqJ zurückgeführt, letztere auf A 3 = p 3 *
— Bq* etc. Kann man nun irgend eine dieser Gleichungen lösen,etwa A n —p* — Bq*, so kann man zu Werten p und q aufsteigen,welche die vorgelegte Gleichung lösen. Es wird dann die Gleichung.l„ = p* — Bq* einer eingehenden Untersuchung unterworfen, worindie Kettenbrüche wieder eine hervorragende Bolle spielen, und allesdarauf zuspitzt, ein Glied einer Reihe E, Lj, . . . zu linden, das gleicheins wird. Es ergibt sich endlich, daß A = p s — Bq 2 bei positivemB, wenn sie überhaupt lösbar ist, eine unendliche Anzahl von Lösungenhat. Der Fall, wo B negativ ist, wird leichter gefunden. Die ganzeAbhandlung ist die erste vollständige und strenge Auflösung von un-bestimmten Gleichuugen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durchganze Zahlen. Wie schon bemerkt, tritt die von Lagrange in seinerersten zahlentheoretischen Abhandlung gelöste Gleichung + I = r*
— Bs*, hier als ein Spezialfall auf. Lagrange sagt nun darüber:„Die eben gegebene Methode ist direkter und einfacher; zudem hatsie noch den Vorzug, zu zeigen, daß die gegebene Gleichung für jedes/> lösbar ist. Dies konnte ich damals nur auf einem ziemlich großenUmwege dartun.“ Am Schlüsse der Abhandlung wird auch die