Zahlentheorie.
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Fermatsehe Unmöglichkeit r” + q", n > 2 berührt, ohne jedoch
y.u den Eulerschen Ergebnissen etwas beizutragen.
Lagrange verfaßte 1770 eine dritte Schrift über die Auflösungvon unbestimmten Gleichungen, betitelt Xouvelle methode pourresoudre les problemes indetermines en nombres entiers 1 )worin er Methoden entwickelt, welche auf Gleichungen höherer Gradeanwendbar sind und die Behandlung der Gleichung zweiten Grades,die er in zwei früheren Abhandlungen auseinandersetzte, bedeutendvereinfachen. Die Theorie der Kettenbrüche, wie er sie in demMemoire sur la resolution des equations uumeriques und inden Additions dazu entwickelt hatte, findet hier Anwendung. DieTransformation von A — IU n + + Dt"~ 2 tr + • • • 4- Ku n , wo
alle Koeffizienten ganze Zahlen und A und u teilerfremd sind, in dieGleichung 1 = Pu ” + Qii"~ i y -f • • • Vy" wird durch die AnnahmeI = uO — Ai/ (0 und // ganzzahlig) erzielt. Die Berechnung von 0,erfolgt durch die von ihm schon früher angewandte Differenzmethode 2 ).Sind ii und ;/ in der transformierten Gleichung ganze Zahlen, somüssen P, Q, . . . V, sowie ii und y selbst, teilerfremd sein. Man setze
x — w und es wird Px“ + Qx"~ l + • ■ • + V — y~" = z. Wenn z = 0,so drücke man eine positive Wurzel a mit Hilfe zweier Keihen vonKonvergenzwerten aus, welche die Kettenbruchentwicklung liefert.In der ersten Reihe sind alle Bruchwerte größer, in der zweiten Reihealle kleiner als die entsprechende Wurzel a. Es folgt dann derNachweis, daß unter den Brüchen der einen oder der anderen Reihe
sich der Bruch U vorfindet, und daß mau auf diese Weise alle ganz-
y °
zahligen Werte von u und ij aufsuchen kann. Die Operation, welche
den Kettenbruch für die Berechnung von n hervorbringt, liefert alsozu gleicher Zeit die Zahlen u und y. Die Auflösungen bestimmterund unbestimmter Gleichungen können demnach durch das gleicheWerkzeug, die Kettenbrüche, erledigt werden. Nachdem die Einzel-heiten ausgearbeitet sind, schreitet Lagrange zur Anwendung seinerErgebnisse auf unbestimmte Gleichungen des ersten und zweitenGrades. Seine jetzige Methode der Auflösung von J. - t 2 — Am 2nennt er „tres-simple et tres-elegante“, seine frühere „ä la verite unpeu longue et compliquee“.
Lagrange gesteht, daß seine arithmetischen Abhandlungen ihmviel Mühe gekostet hätten. Am 15. August 1768 schreibt er au