Zahlentheorie.
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iin 6. Kapitel, ist er von Lagranges Untersuchungen nicht beein-flußt worden und die Auflösung ist unvollständig. Es „ist nnum-»ränndich nötig“, sagt Euler , „daß man schon einen Fall in ganzenZahlen wisse oder errathen habe“. Merkwürdig ist es, daß er imnächsten Kapitel für die Fermatsche Gleichung an- + 1 - nr nichtseine eigene, in seiner Schrift De usu novi algorithmi 1765 ent-wickelte Methode, sondern die Auflösungsmethode von Wallis dar-stellt. Die drei folgenden Kapitel enthalten Lösungen von
a + bx + ex- + dx z = y-, a + bx -+- ex 1 + dx z + e.r* = ?r,a ■ + hx + cxr + dx z = y z .
Im 13. Kapitel wird bewiesen, daß weder die Summe, noch die Diffe-renz zweier Biquadraten jemals eine Quadratzahl werden könne. DieUnmöglichkeit dieser Fermatschen Sätze und mehrerer ähnlicherdiophantischer Ausdrücke wird dadurch nachgewiesen, „daß wannauch in den größten Zahlen solche Werthe für x und y vorhandenwären, aus denselben auch in kleinern Zahlen eben dergleichenWerthe geschlossen werden könnten, und aus diesen ferner in nochkleinern usf., da nun aber in kleinen Zahlen keine solche Werthevorhanden sind ... so kann mann sicher schließen, daß auch in großem. . . keine solche Werthe von x und y vorhanden seyn können“. 1m15. Kapitel wird die Fermatsche Unmöglichkeit x s -j- y 3 = z z nach-gewiesen.
Der gegenwärtige Zeitpunkt (um 1770) ist in der unbestimmtensowohl als in der bestimmten Gleichungstheorie durch große schöp-ferische Tätigkeit gekennzeichnet. Während Euler und Lagrangedie schon besprochenen Arbeiten hervorbrachten, war auch \\ aringin England tätig. In seinen Meditationes algebraicae, 1770,werden einige neue zahlentheoretische Sätze angegeben. Ohne Beweisgibt er folgende Theoreme an 1 ): „Jede ganze Zahl ist entweder eineKubikzahl oder die Summe von 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 Kubikzahlen 2 );entweder eine Biquadrate, oder die Summe von 2, 3 etc. oder 19 Bi-quadraten.“ Der Beweis hiervon läßt noch immer auf sich warten. Ananderer Stelle schreibt Waring ohne Nachweis hin 3 ): „Jede geradeZahl ist die Summe zweier Primzahlen, und jede ungerade Zahl isteine Primzahl oder die Summe von drei Primzahlen.“ Der Satz übergerade Zahlen ist allgemein als der „Goldbachscbe Erfahrungssatz“bekannt, wurde aber zuerst von Waring gedruckt. Goldbach *) teilte
: ) Medit. algebraicae, 3. Ed. 1782, p. 349. *) Vgl. C. G. J. Jacobi, Ges.
Werke, Bd. VI, S. 322—354. *) Medit. algebraicae, 3. Ed. 1782, p. 379.
4 ) Corresp. math. (Fuß) I, p. 127, 135. VgL Nouvelles Annales, T. 18, 1859;Bull, de Bibi., D’Hist. p. 2.