Zahlentheorie
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enthält den Lagrangeschen Beweis des von Diophant an einigenStellen stillschweigend vorausgesetzten und von Bachet zuerst aus-gesprochenen Satzes, daß jede Zahl als Summe von vier oder wenigerQuadraten dargestellt werden kann. Sich auf einige Resultate Eulersstützend, zeigt Lagrange, daß, wenn die .%mme von vier Quadratendurch eine Primzahl größer als die Quadratwurzel dieser Summe teil-bar ist, diese Primzahl selbst die Summe von vier Quadraten ist.Eine oder zwei der Quadrate im Dividend dürfen auch Null sein.Dann wird bewiesen, daß p und 7 so gewählt werden können, daß/r -f 7 2 + 1 durch irgend eine vorgelegte Primzahl teilbar wird. Da-durch ist der Bachetsehe Satz für Primzahlen sicher gestellt. Ausdem Eulersehen Theorem, daß das Produkt von zwei oder mehrerenZahlen, deren jede die Summe von vier Quadraten ist, selbst dieSumme von vier Quadraten ist, kann dieses Ergebnis leicht auf jedezusammengesetzte Zahl ausgedehnt werden.
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Eine interessante Leistung ist die Demonstration d’untheoreme nouveau concernant les nombres premiers 1 ),worin Lagrange zwei Beweise des von Waring veröffentlichtenund von seinem Freuude John Wilson entdeckten Lehrsatzes überPrimzahlen gibt. Der erste Nachweis beruht auf Eigenschaften derKoeffizienten der gleichen Potenzen von x in
(x + 1) (x + 2j ■ ■ • (a + n) = (x -f 1)" + A'(x + 1 j" -1 -)--f l)
= x" + (n + Ä)x n - 1 + (uA' + A")x"~- H-b «-P" -1 >.
Daraus zieht Lagrange auch einen Beweis des Fermatschen Satzes.I 11 dem zweiten Beweise wird umgekehrt der Fermatsehe Satz vor-ausgesetzt und davon der Wilsousche abgeleitet. Es folgen danndie Beweise der zwei ersten von uns angeführten Sätze von Waringüber Primzahlen in arithmetischer Progression.
Ohne von den Untersuchungen Lamberts Kenntnis zu haben,veröffentlichte Johann Bernoulli III. (1744—1807) einen AufsatzSur les fractions decimales periodiques 2 J, worin er nach einersummarischen Übersicht der Arbeiten von Wallis , Euler und JohnRobertson Bemerkungen über die am Ende seines Aufsatzes ge-druckte Tafel macht. Diese Tafel enthält die Perioden aller aus
entspringenden Dezimalbrüche, wo D nacheinander alle Primzahlenaußer 2 und 5 bis 199 vorstellt. Die Ziffern in einer Periode
Sciences de Berlin, annee 1770, Berlin 1772, p. 123—133 = Lagrange, Oeuvres.Tome III, 1809, p. 189—201.
*) N. Memoires de l’acad. roy. des Sciences Berlin, annee 1771, Berlin 1773,p. 125—137 = Lagrange, Oeuvres, Tome III, p. 125—438. *) Ebenda, annee