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Abschnitt XX.

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liefert ^ , wo x die kleinste ganze Zahl ist, welche 10' — 1 durch

]) teilbar macht. Es sei ihm nicht gelungen, das Gesetz für die Be-stimmung des x aufzutinden, weshalb seine Tabelle wertvoll seinjlürfte. In der Fortsetzung derselben könnte man sich vielleichtdurch Anwendung der von Ballier des Ourmes 1 ) vorgeschlagenenDivisionsmethode Zeit ersparen, welche, wenn man zum voraus weih,daß die Division ohne Rest herauskommt, den Quotienten durch einevon rechts nach links fortschreitende Operation liefert. Bernoullibeobachtete, daß, wenn bei der Division von 1 mit I) einer der Reste

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1) — 1 ist, dieser der Q Rest ist. Dann folgen einige Beobach-

hingen über Brüche, worin D das Produkt zweier Primzahlen ist.Lambert machte den Bernoulli auf seine eigenen Arbeiten derJahre 1758 und 17(59 über diese Sache aufmerksam, worauf Ber-noulli in Additions au memoire precedent 2 ) eine tibersichtderselben gab und sie mit einigen Bemerkungen über die Fort-setzung seiner Tafeln begleitete.

Mit den eben besprochenen Abhandlungen eng verbunden ist diefolgende von Johann Bernoulli III.: Recherches sur les divi-seurs de quelques nombres tres grands compris dans lasomine de la progression geometrique 1 + 10'+ 10 2 + 10*+ • • • IO 7- = »S. 8 ) Er zeigt, daß diese Frage sich auf die Bestimmungder primen Teiler von 10' + 1 reduziert. Er stützt sich auf TheoremeEulers 4 ) und berechnet eine Tabelle, welche die primen Teiler von

S, für die Werte 1, 2, . . ., JO von t angibt. Auch tabelliert erPrimzahlen von der Form Ui n + 1, bis auf die Primzahl 211501, so-wie Primfaktoren von Zahlen der Form a 2 + 10 h 2 . Diese Abhand-lung wurde von Euler gelesen und er teilte Bernoulli brieflichKriteria mit 5 ), die zur Entscheidung dienen, welche der Zahlen,10* — 1 oder IO 7 * + 1, durch eine Primzahl 2p + 1 teilbar sei. Ist2p + 1 = An + 1, so braucht man nur die Teiler der drei Zahlen n,n + 2, n + <5 zu betrachten. Wenn man bei diesen die zwei Fak-toren 2 oder 5 oder keine derselben findet, ist IO''— 1 teilbar; findetman aber nur den Faktor 2 oder den Faktor 5, ist IO + 1 teilbar. Istz. B. n = 13, 2p + 1 = 53, dann sind keine der Faktoren bei 13, 11, 7

') Memoires de math. et phys., presentes a l’acnd. roy. des Sciences, pardivers savans, T. V, 1768, p. 550—574. *) X. Memoires de l’acad. roy. des

seien, et b. 1., annee 1771, Berlin 1773, p. 305—317. *) Ebenda, annee 1771,Berlin 1773, p. 318—337. *) Comm. Petr. T. XIV, Theo. 31; N. Comm. Petr.

T. I, § 38, T. VII, Theo. 13, § 57, T. VIII, T. IX, § 5 u. 6; Lagrange in einerdamals noch ungedruckten Arbeit. 5 ) N. memoires de l’acad roy. des Sciences,annee 1772, Berlin 1774, p. 35, 36 = Comm. Arith. I, p. 584.