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Abschnitt XX.

Methode eines Charles Darwin größere Ähnlichkeit als mit derstrengen Deduktion eines Lagrange. Und noch in seinen letztenJahren sollte er durch einfache Induktion zur Entdeckung eines dergrößten Gesetze, nämlich des Reziprozitätsgesetzes, geführt werden.

Wir erwähnen nun sechs Abhandlungen L. Eulers über dio-phantische Probleme, die mit großer Geschicklichkeit und Unermüd-lichkeit behandelt werden, aber wegen der Abwesenheit allgemeinerMethoden dennoch geringen Einfluß auf den Fortschritt der Zahlen-theorie gehabt haben. Die erste derselben 1 ) gibt die Auflösung, inrationalen Werten von A und B, der simultanen Gleichungen

AB + A + 11 = □, AB + A - B = □, AIS -A + B = □,AB- A - 11=0.

Die zweite 2 ) löst drei Aufgaben, deren eine die Auffindung von neunrationalen Zahlen verlangt, welche zwölf Gleichungen genügen. Diezwei anderen Aufgaben sind gleicher Natur. Die Auflösungen der-selben beruhen auf eleganten Kunstgriffen in Koordinatentransfor-mationen. Die dritte Abhandlung' 1 ) gibt die Auflösung (1) dersimultanen Gleichungen

(V + ir) (t 2 x 2 + h 2 '/) = □, (V + >/) (>< 2 x- ~r f 2 y 2 ) = □,

(2) der Gleichung

(f-x 1 + irif) (mV + / 2 // 2 ) = □,

(i») der simultanen Gleichungen

f-x 2 + >r t/- — □, t'-if- -f- mV = □.

Die vierte Abhandlung 4 ! löst unter anderem die simultanen Gleichungenx + y + z + s = □, xy + xz + xs + yz + ys + zu = □,xyz + xy .s + xzs + yzs = □, xyzs = □,

während die fünfte 5 ) die Gleichung A 4 -f Jß = C 4 -f D 1 in rationalensowie auch in ganzzahligen Werten erzielt. Die sechste Schrift ist«reometrisch: Dreiecke zu finden, deren Seiten und Mittellinien rationalsind 6 ). Sind 2 a, 2b, 2c die drei Seiten und /’, y, h deren Mittel-linien, dann fordert dieses Problem die Lösung der Gleichungen

2 Ir + 2 c 2 - « 2 - 2 c 2 + 2 a 2 - JA -= (f, 2 a 2 + 2 b 2 - c 2 = h 2 .

‘) N. Comm. Petr. XV, 1770, p. 29—50 = Comm. Arith. I, p. -114. -) X.

OoDim. Petr. XV, 1770, p. 75—100 = Comm. Arith. I, p. 427. *) N. Comm.

Petr. XX, 1775, p. 48 = Comm. Arith. I, p. 444. 4 ) N. Comm. Petr. XYII t

1772, p. 24—63 = Comm. Arith. I, p. 450. N. Comm. Petr. XVII, 1772,

p. 64—69 = Comm. Arith. I, p. 473. °) N. Comm. Petr. XVIII, 1773, p. 171

= Comm. Arith. I. p. 507.