Zahlentheorie

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In dem Aufsatze Demonstrationes circa residua ex divi-sione potestatuin per numeros primos resultantia 1 ) entwickeltL. Euler Lehrsätze über die bei Division einer Progression 1, a, a 3 ,«®, . . . durch eine Primzahl F erhaltenen Reste, und wird zur wich-tigen Frage geführt, ob es geometrische Progressionen gibt, welcheeine vollständige Reihe von Resten 1, 2, 3, . . F — 1 liefern. DieZahlen a, welche dieses tun, werden primitive Wurzeln (radices primi-tivas) von F genannt. Euler hat keinen strengen Beweis von derExistenz solcher Zahlen gegeben. Ihr Vorhandensein voraussetzend,gelingt es ihm aber, ihre Anzahl genau zu bestimmen. In Gauß'

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Disquisitiones arithmeticae, Art. 56, wird Eulers Existenz-beweis angegriffen.

Der Eulersche Aufsatz Novae demonstrationes circa reso-lutionem numerorum in quadrata 2 ) wurde durch den La grau gesehenBeweis (1770) des Baclietschen Satzes hervorgerufen. Euler warweder mit seinem eigenen früheren Beweise, noch mit dem La-granges zufrieden. Letzterer war zu „abstrusus et prolixus“. Des-halb wird dieser Gegenstand aufs neue bearbeitet. Die Darstellungvon Zahlen durch die Formen x'~ + iß, x 3 -f 2 iß, x 3 -f- 3»/ 2 , ,r s + y 3-f- z 3 -)- u 3 wird auf die Eigenschaften von Divisoren dieser Ausdrückegegründet, und Euler zeigt, daß das Produkt zweier solcher ähnliehen Funktionen eine ihnen ähnliche Funktion ist.

Eine durch die Irrationalentheorie erzielte Lösung der Gleichung 3 »Ax 3 + 2 llxi/ + Cy 3 -f- 2 l)x + 2 Ky F = 0 darf ohne weitere Er-klärungen übergangen werden, da Euler noch immer die Existenzeiner Lösung voraussetzt. Die gleiche Voraussetzung wird von ihmauch noch in einer durch Kettenbrüche erlangten Auflösung dieserGleichung gemacht 4 ).

In der Schrift Problema diophanteum singulare 5 ) löstL. Euler die simultanen Gleichungen xy + xz = □, xy + yz = □.Bald nachher beschäftigte sich Euler wieder mit Primzahlen und be-rechnete sich eine Tafel von Primzahlen bis zur Primzahl1001989, sowie von zusammengesetzten Zahlen mit ihren kleinstenDivisoren 1 ’).

Uber die Zerlegung von Zahlen in Summanden haben auch

’) X. Comm. Petr. XVIII, 1773, p. 85—135 — Comm. Aritb. I, p. 516—537.*) Acta Erud. Lips. 1773, p. 193 = Acta I’etrop. I, II, 1775, p. -48 = Comm. Aritb.I, p. 538—548. 3 ) N. Comm. Petr. XVIII, 1773, p. 185—197 = Comm. Arith. I,

p. 549—555. 4 ) N. Comm. Petr. XVIII, 1773, p. 218—244 = Comm. Arith. I,

p. 570—583. °) X. Comm. Petr. XIX, 1774, p. 112—131 = Comm. Arith. II.

p. 53—63. 6 ) X. Comm. Petr. XIX, 1774, p. 132—183 --- Comm. Arith. II,

p. 64—91.