Zahlentheorie.

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und 2 ■ 3 • 4.5 ausgedrückt. Es sind nämlich 100000 = 2 5 und10000 = 2 4 . Beguelin leitet die Operationsregeln für die neueSchreibart ab. In zwei späteren Abhandlungen 1 ) wendet er seinenAlgorithmus auf die Bestimmung der Faktoren von Zahlen 2 n -f- 1und 4 p + 3 an, ohne aber dadurch bedeutende Resultate zu er-zielen.

In einer Solution particul iere du probleme sur lesnombres premiers 2 ) entwickelt Beguelin eine Methode, Primzahlenvon der Form 4.r 2 + 1 zu finden. Das Resultat dieser Arbeit ist demEulerschen in den Petersburger Memoiren der Jahre 1762,63, Bd. IX,p- 99—153 ähnlich; die Methode ist aber ganz verschieden. Beguelinwählt als Grundlage den Eulerschen Satz, daß alle Zahlen, welchenur ein einziges Mal in der Formel x 2 + y 2 enthalten sind, wo x undy teilerfremd sind, entweder Primzahlen oder das Doppelte von Prim-zahlen sind. In einem au Beguelin gerichteten Briefe, datiert: Mai1778 macht ihn Euler 8 ) auf die Tatsache aufmerksam, daß die all-gemeinere Formel nx~ + y 2 die nämliche Eigenschaft besitze, und beigeeigneter Wahl des n nur Primzahlen liefere. Zur Wahl von ndiene folgende Regel: Wenn eine Zahl in der Form n -j- y' 2 enthaltenist, kleiner als 4« ist (wo y und n teilerfremd sind) und entwedereine Primzahl p.oder 2p oder p 2 oder eine Potenz von 2 ist, dannist die Zahl n, welche diesen Bedingungen genügt, eine geeigneteZahl. Z. B. 60 ist eine solche Zahl, denn 60 -J- l 2 , 60 -f- 7 2 , 60 + ll 2 ,60 + 13 2 sind alle Primzahlen. Euler entdeckte 65 verschiedeneZahlen n, konnte aber keine finden, welche 1848 überstieg. Die

Form 1848 x 2 Ay 2 ermöglichte es ihm mehrere große Primzahlen (z. B.

18518809) zu entdecken. Eine vollkommenere Mitteilung dieserArbeit wurde nach dem Wunsche Eulers von X. Fuß in einemBriefe vom 19./30. Juni 1778 an Beguelin gemacht 4 ).

In einer Althandlung Recherches d’arithmetique 5 ) untersuchtLagrange die verschiedenen Formen, welche die Teiler einer ganzenZahl von der Form Bt 2 + Ctu -f- I)u 2 annehmen können. Es stellenalle Buchstaben dieses Ausdrucks ganze Zahlen dar, die auch negativsein dürfen; B, C, B sind zum voraus bestimmte, t und u unbe-stimmte, teilerfremde Zahlen. Es wird zuerst bewiesen, daß jederTeiler A die Form A = Ls 2 + J Isx + Xx 2 hat, wo s und x gleich-falls teilerfremd sind, und wo 4 LN— M 2 = 4 BT) - C 2 . Um dieses

4 ) X. Memoires de l’acad. roj. des Sciences, annee 17T7, Berlin 1779, p. 239

tiis 2G4, 265—310. *) Ebenda, annee 1775, Berlin 1777, p. 300—322.

3 ) Ebenda, annee 1776, Berlin 1779, p. 337—339. 4 ) Ebenda, p. 340—346.

*) Ebenda, annde 1773, Berlin 1775, p. 265—312 = Lagrange, Oeuvres, T. IH.p. 696—795.