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Abschnitt XX.

zu beweisen, lasse man Au = Et 2 + ('tu + Du 2 . Ferner setze mana = bc, u = bs, wo c und s teilerfremd sind, und es folgt ausAbc = lit 2 4- Cbts + I)b 2 s 2 , daß 71 = 7,7) und Ac = Et 2 + Cts + Dbs 2 .Da Os + cx irgend eine ganze Zahl sein kann, schreibe man t = Os+ cx und eliminiere t. Man ersieht dann, daß EO 2 -f- CO + l)b durchc teilbar, also = Lc ist. Wenn 2 EO -f- C = M, Ec = N genommenwird, erhält man A = Ls 2 + Msx + Ex 2 , sowie 4 LM — M 2 = 47171— C s , und der grundlegende Satz der Abhandlung ist bewiesen. Istnun 3/ numerisch größer als L, wird durch die Annahme s = »i :r + .s'eine neue Form A = L's" 2 + Msx + Ex' 2 abgeleitet, wo numerischM < M und 4L'E - M 2 = 4/W - M 2 ist.

Durch eine endliche Anzahl von Wiederholungen dieser Operationerhält man A = Et/ 2 -f- Qyz -j- Hz 2 , worin numerisch Q <; E, Q li,

4P7' — Q 2 = 47171 — C 2 und y und z teilerfremd sind. Wenn

47771— C 2 positiv ist, dann muß also <2 ■< ~J/* ^ ^ sein; wenn

47771 — C 2 negativ ist, so muß Q <iy^~ - sein. Durch diese

Relationen sind die möglichen Werte von Q bedeutend eingeschränkt.Überdies ist Q gerade oder ungerade, je nachdem (' gerade oder un-gerade ist. Sobald nun Q festgesetzt ist, erhält man EH durch dieRelation 4 Eli — (f 2 = 4 BI )— C 2 , und man kann irgend zwei Fak-toren von Elt, welche nicht kleiner als Q sind, als Werte vonP und 11 wählen. Aus obigem siebt man, daß die Bestimmung vonE, Q, 11 nur von dem Werte 4 liT) — C 2 = + K (K positiv) abhängt.Bemerkt man überdies, daß (71t 2 + Ctu + 71 m 8 ) 477 = (277/ + Cu) 2+ (47171 — (F) tr, so wird es klar, daß Teiler von 11t 2 + Ctu -\-J)u sauch Teiler der einfacheren Formel x 2 + Ku 2 sind. Betrachtet mant 2 + ftn 2 (a irgend eine ganze positive Zahl) als einen Spezialfall vonlit 2 + Ctu + I)u 2 , worin 71 =1, C = 0, 71 = n, wo also K = 4 n,

Q = + 2q (q positiv), dann werden q < "j/” und El! = a -f q 2 . Ist

nun PJl = 2 )r , wo p^>2q, r> 2 q, dann ergibt sich py 2 + 2qyz -j- rz 2als der allgemeine Ausdruck für die Teiler von t 2 + au 2 . Für a = 1wird der Teiler y 2 g 2 , für n = 2 wird er y 2 + 2z 2 , für a = 3 wirdjeder ungerade Teiler y 2 -\- 3z 2 . Die Resultate für diese drei Werte von «hatte früher Euler durch eine ganz verschiedene, auf höhere Wertevon n nicht verwendbare Methode ausgearbeitet 1 )- Die Methode vonLagrange ist allgemein und wird von ihm bis auf n = 12 ange-wandt. Bei der Ausbeutung der Resultate für t 2 — a u 2 ist das Yer-

') X. Comiu. Petr., T. IV, VI, VIII.