Zahlentheorie.
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fuhren von Lagrange ganz ähnlich. Er stößt aber auf die Unbe-quemlichkeit, daß dann und wann sich scheinbar mehr Teilungsformelnheraussteilen, als wirklich existieren, daß also gewisse unter denselbeneinander äquivalent sind. Z. B., wenn a = 12, so findet man dieTeiler 12^ 2 — y 2 und 3 t/ 2 — 4 z 2 . Letzterer reduziert sich auf denersteren durch die Substitution y = 4;/' + z', z = 3 y + z'■ DieseErscheinung veranlaßt ihn zu einer Untersuchung, und dieseführt zur Entdeckung einer Kegel, wodurch man einander iden-tische Formeln leicht erkennen kann. Auch konstruiert er zweiTafeln, welche die Werte von p, <j, r der ungeraden Divisoren derZahlen t 2 + au 2 und t 2 — a« 2 für die sukzessiven Werte 1,2, 3,...,31der Konstanten a angeben.
Diese große Untersuchung Lagranges wird in den BerlinerMemoiren des Jahres 1775 fortgesetzt 1 ).
Für Zahlen von der Form t + au 2 wurde im eben besprochenenTeil der Abhandlung die allgemeine Divisorsformel
X = py 2 + 2qyz + rz 2
abgeleitet. Im zweiten Teil wird dieser Divisor in die einfachereForm Ana + b transformiert, wo n irgendwelche ganze Zahl ist,a =pr -)- q 2 , und h durch die Zahlen p, q, r bestimmt wird. WennX ein ungerader Teiler ist, muß entweder p oder r ungerade sein.Es sei p ungerade. Man kann schreiben
pX = (py + qz) 2 + az 2 = y 2 + az 2 ,
wo y =py + qz. Ist p = Pp c 2 , a = r'p'c 2 , wo P und r teilerfremdsein sollen, dann muß r = Pr + q 2 p‘'. wo q = qp c, und wo P undp' teilerfremd sind, sowie auch P und pW. Es muß also y'=p'c.rsein, und man erhält PX = p x 2 + rz 2 . Setzt man weiter p r = a,dann läßt sich PX durch eine lineare Transformation von x und zauf die Form 4 an 4- V reduzieren, wo V positiv oder negativ undnumerisch <2a' ist. Nun können in der Gleichung ersten GradesPX = Adn + b' die unbestimmten ganzen Zahlen X und n immerberechnet werden, und man erhält X = 4 an + ab', wo n irgend eineganze Zahl, und u der Zähler des vorletzten Näherungsbruches für
den Wert von ist. Wenn nun d = dc 2 = «, dann ist + ab'= b
und X hat die erwünschte Form; wenn dies nicht der Fall ist, mußman noch n = wc 2 + y setzen (y < c 2 ), und es wird
*) N. Mtimoires de l'acad. roy. des Sciences, annec 1775, Berlin 1777, p. 323bis 356 = Lagrange, Oeuvres HI, p. 759—795.
Cantük, Geschichte der Mathematik IV.
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