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Abschnitt XX.
X — 4 n n + ab’ + 4a'//,
wo also b = + ab' + 4a'//. Lagrange bereclmet nun zwei Tafeln,die für jeden Wert von n (< 31) und von p die passenden Werte vonb für Teiler von t 2 + au 2 angeben, und zwei andere Tafeln,welche die Werte von b für Nichtteiler liefern. Um z. B. Teiler vonU>001 zu finden, beachte man, daß 10001 = (100) 2 -j- 1, daß alsoa = 1, wofür die Tafeln b = 1 angeben, weshalb jeder Teiler dieForm 4n -f- 1 bat. Es ist aber auch 10001 = (101) 3 — 2 (10) 2 . Füra = 2 liefern die Tafeln b = 1, — 1, weshalb die Teiler eine der zweiFormen 8« + 1 und 8h — 1 haben müssen. Von den Primzahlenunter 100 genügen nur 17, 41, 73, 89, 97 diesen zwei Bedingungen.Durch Division ermittelt man, daß 73 ein Teiler ist. Die Abhand-lung endet mit einer Untersuchung über Primzahlen von der Form4na -j- b, welche zu gleicher Zeit die Form it* + at 2 annehmen. Zudiesem Zwecke braucht er sieben Lemma, welche, in Verbindungmit seinen Tafeln, ihm 36 Lehrsätze über Primzahlen von der Form4h — 1 und 13 Lehrsätze über Primzahlen von der Form 4h + 1einbringen. Man findet hier den Nachweis von sechs FerinatschenSätzen. Der erste von diesen sagt, daß alle Primzahlen von derForm 4 n + 1 auch die Form y 2 -f- /' annehmen. Vier andere Fer-mätsche Sätze betreffen bzw. die Formenpaare
Oh -j- l, //■ + 3z 2 ; Sn -f- 1, y- -f 2z 2 ; Sn -f- 3, i/ 2 -f- 2z 2 ;
Sn + 1, y 2 - 2t 2 .
Für die zwei ersten Fermatschen Sätze hatte Euler schon früherBeweise veröffentlicht. Vier andere Sätze hatte Euler früher durchInduktion entdeckt 1 ). Sie betreffen bzw. die Formen 20h + 1,20h + 9 und y 2 + bz 2 - 24h -f- 1, 24h + 7 und y 2 -)- 6z 2 - 24h -f 5,24h + 11 und 2// 2 + 3z 2 ; 28h + 1, 28 n + 9, 28h + 11, 2Sn + 15,28h + 23, 28h -f 25 und y 2 + 7 z 2 . Lagrange bemerkt, daß es ihmnicht gelungen sei, den Fermatschen Satz, daß das Doppelte einerPrimzahl 8h — 1 die Summe eines Quadrates und das Doppelte einesQuadrates sei, nachzuweisen. Auch kündigt er den von ihm durchInduktion entdeckten, aber noch unbewiesenen Satz an, daß alle Prim-zahlen von der Form 4h — 1 die Summe einer Primzahl von derForm 4 n + 1 und das Doppelte einer Primzahl dieser Form sind.
Eine Methode, die vollkommenen Theiler einer gegebenenZahl zu finden 2 ) von Johann Tessanek (1728—1788), Lehrer
') X. memoires Petr. VI, p. 221, VIII, p. 127. *) Abh. einer Privat-