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Abschnitt XX.

wurden von L. Euler schon 1771 eingereicht. Es werden erstensdie simultanen Gleichungen

(x 3 + .V 2 ) (t 2 x 3 + H-y-) = U 2 , (x 2 + ? / 3 ) • («V + t 2 y 2 ) = V 2 ,

zweitens (t 2 x 2 + iry 2 ) (mV + t 2 y 2 ) = F 2 , drittens die Gleichungent 2 x 2 + u 2 y 2 - U 2 , t 2 y 2 + mV = F 2 aufgelöst. Ein ähnliches Kunst-stück ist die Resolution jeder der zwei folgenden Gleichungen 1 ):

X* * + y* 4- ^ + v* — ~x 2 y 2 — 2 x 2 z 2 — 2 y 3 z 2

+ 2x 2 v 2 + 2y 2 v 2 + 2z 3 v 2 = 0,x 1 + y 4 + a 4 + v 4 — 2x 2 y 2 — 2x 2 z 2 — 2x 2 v 2

- 2y 2 z 2 - 2y 2 v 2 - 2z 3 v 2 = 0,sowie die Lösung der simultanen Gleichungen 3 ):

x 2 + y 2 + z 2 = u 2 , x 2 y 2 -f x 2 z 2 + y 2 z 2 = tr.

Sein ältester Sohn Johann Albrecht Euler (1734—1800),schrieb einen Kommentar über die Lösung des letzten Problems 3 ).

In der Abhandlung Sur quelques problemes de l’analysede Diophante 4 ) geht Lagrange von dem Fermatschen Problemaus, ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, dessen Hypotenuse, sowiedie Summe der Katheten, Quadratzahlen sind. Wenn also p und qdie Katheten sind, sollen p + q = y 2 , p 3 -f q- = x 4 . Setzt manV — q = z, so erhält man p 3 — 2pq + q 3 = z 2 = 2x 4 — «/ 4 . Kennt manalso Lösungen von 2a: 4 — y i = z 3 , dann sind die Katheten durch dieRelationen 2p == y 3 -f z, 2q = y 3 — z bestimmt. Es können x = 13,y = 1, z = 239 sein, woraus sich p = 120, q = — 119 ergeben.Sollen aber p und q beide positive ganze Zahlen sein, dann versichereFermat , daß keine kleineren Wertsysteme existieren als

x = 2165017, y — 2372159, z — 1560590745759,p = 1061652293520, q = 4565486027 761.

Um diese Äußerung zu beweisen und um überhaupt eine allgemeineAuflösung der Gleichung 2a; 4 — y 4 = z 3 zu finden, erfindet Lagrangeeine Methode, welche der berühmten Fermatschen Methode, die Un-möglichkeit von x* — y 4, = z 3 zu beweisen, ähnlich ist. Fermat

') Acta Petrop. 1778, II, p. 85—110, eingereicht 1780 = Comm. Arith. II,p. 366—379. *) Ebenda, 1779,1,p. 30—39,einger. 1780 = Comm. Arith.II,p. 457—461.

*) Ebenda, 1779, Pt. I, p. 40—48. 4 ) X. mdmbires de l'acad. roy. des Sciences,

annee 1777, Berlin 1779, p. 140—154 = Lagrange, Oeuvres IV, p. 377—398.