Zalilentheorie.

181

zeigte, daß mau aus der Voraussetzung, daß ganzzahlige Werte vonx, y, z existieren, immer nach weisen kann, daß es noch kleinere ganzzahlige Werte von x, ij, z gibt, die der Bedingung a; 4 — y l — z~ ge-nügen. Durch Wiederholung dieser Operation kommt man auf kleineWerte von x, y, z herab, die der Gleichung genügen sollten. Da inWirklichkeit es keine solche kleinen Werte gibt, ist die Annahmeder Lösbarkeit falsch. Lagranges Modifikation dieses Kunstgriffesist wie folgt: Aus der Voraussetzung, daß es ganzzahlige Werte vonx und y gibt (x > 1, y > 1), die der Bedingung 2a: 4 — i/ 4 = □ ge-nügen, soll gezeigt werden, daß es noch kleinere Werte von x undy gibt, die dieser Bedingung genügen. Es soll zu gleicher Zeit eineallgemeine Methode entwickelt werden, um letztere Werte aus den ersterenabzuleiten. Wenn man nun für x und y ihre Minimum-Werte angibt,nämlich ar = 1, y — 1, kann man durch Wiederaufsteigen alle höherenWerte in der Reihenfolge ihrer Größe berechnen. Dieses Programmwird mit großer Geschicklichkeit erfolgreich durchgeführt. Erstenswird bewiesen, daß die Auflösung von 2a: 4 — = z 2 sich auf die

Auflösung von s 4 + 8 t 4 = u 2 durch kleinere Zahlen reduziert, und daßeine Lösung letzterer Gleichung stets durch die Relationen

m : n - (m 2 — 3 st) : ( s 2 — St 2 ),

m und n teilerfremd ,x = ms + nt, y= ms — nt eine Lösung der erstereneinbringt. Zweitens wird die Auflösung von s* + 8t 4 = n 2 auf die Lösungvon der Gleichung 2q i —- r 4 = s ä oder der Gleichung q 4 — 2r 4 = s 2reduziert, so daß von den Werten q, r, s, welche der einen oder deranderen dieser Gleichungen genügen, durch die Hilfsgleichung t = qrLösungen von s 4 + 8t 4 = u 2 abgeleitet werden können. Drittens wirddie Auflösung von j 4 — 2r 4 = s 2 von der Lösung der Gleichungq- = h 4 + 8 p l abhängig gemacht, wo r = '2p n, s = « 4 — 8p 4 , und dieganzen Zahlen n,p kleiner sind als q, r. Die Gleichung h 4 -}- 8/a 4 = q 2hat aber die gleiche Form wie s 4 + 8# 4 = it 2 ; folglich ist das Problemgelöst. Diese Untersuchung ergibt also nicht nur die Lösung von2 a -4 — y* = □, sondern auch von a.* 4 — 2f/ 4 = □ und x* + Sy i = □.

Es wird nun gezeigt, wie die Auflösung aller Gleichungen vonder Form a: 4 + ay 4, = z 2 , wo a irgend eine gegebene Zahl ist, durchdie Lösung einer gleichförmigen Gleichung mit kleineren Zahlen-werten erzielt werden kann; es wird aber betont, daß die hier er-klärte Methode nicht notwendig alle möglichen Lösungen liefert.

In der Eulerschen Abhandlung De mirabilibus proprietati-bus nnmerorum pentagonalium‘) werden aus dem Ausdrucke

’) Acta Petr. 1780, I, p. 50—75 = Comm. Arith. II, p. 105—115.