182
Abschnitt XX.
(1 — +)(1 — a: 2 ) (1 — x 3 ) etc. = 1 — x — x- 4- x b + x? — a; 12 — x li -(- etc.,wo die Exponenten von x in der Reihe Pentagonalzahlen von der Form
d. h. die Zahlen 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22 etc. sind, und wo
a? = 1 (» = 1, 2, 3, 4 oder 5) ist, schwankende und divergente Reihenabgeleitet. Die Summe solcher Reihen wird nach der damals nochüblichen formalen Behandlungsweise ermittelt. Euler schreibt
1 — 1+1 — 1 + 1 etc. = * und — 1 2 — 2 2 + 5 2 + 7 2 — 12 2 — etc. = 0.
Vom Standpunkte der analytischen Zahlentheorie betrachtet, enthältdiese Schrift Ergebnisse, die Euler schon früher veröffentlichthatte l ).
Die Anzahl Zahlen, welche kleiner als X und zugleich mit Xteilerfremd sind, wird von L. Euler in einer Schrift des Jahres 2 )
1780 durch die Formel nX = — ~ ' pqr ^ aus gedriickt, wo
X = p a q?r r . Dies ist eine verallgemeinerte Form der Formebi,welche Euler 17(30/61 in der Abhandlung Theoremata arithmeticanova methodo demonstrata bekannt machte.
In dem Aufsatze De inductioue ad pleuam certitudinemevehenda*) zeigt L. Euler, daß jede Zahl sich als in vier Quadrat-zalilen und in drei Dreieckszahlen zerlegbar erweist, sobald man an-nimmt, daß jede Zahl 4 n + 2 in zwei Primzahlen der Form 4 « + 1zerlegbar sei. Letzterer Satz wird durch Induktion untersucht undals Erfahrungssatz aufgestellt.
Im Jahre 1781 wurden Auszüge aus Briefen Eulers an Con-dorcet veröffentlicht 4 ), worin unter anderem bewiesen wird, daß dieSumme der Quadrate der Koeffizienten in der Binomialentwicklungvon (1 + x) n dem Ausdrucke gleich ist
2 6 10 14
1 ' 2 ‘ ~3 ' 4
in — 2
Die vollständige Abhandlung Eulers erschien in St. Petersburg unterdem Titel De mirabilibus proprietatibus unciarum, quae inevolutione binomii ad potestatem quamcunque evecti oc-
x in dx
J\
c u rrun t 5 ). Diese Werte werden vom Integral
Y 1 — x- x
0
‘) Iutr. in analys. I’t. IV, (Jliap. 16; N. Conmi. Petr. 1750/61, p. 155; ebenda,
1754/55, V, p. 59—94; Corresp. math. (Fuß) II, p. 467. *) Acta Petr. IV, II,