Zahlcntheorie.

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geleitet. Euler betrachtet auch Bruchwerte von n mit dem Xeimer

2 und erhält für n

als Summe der unendlichen Reihe

für

eine unendliche Zahl. Euler schreibt

v

2 ' '

_ «'(>»' — l)P ‘ 1 • 2 ’

und erhält mit Hilfe der Integralrechnung die Werte der Reihe1 + au + fiß' + • • ■ für ganze und gebrochene Werte von n und v'.Diese interessante Untersuchung wird in der Schrift De insignibusproprietati bus unciarum binomii ad uncias quorumvis poly-nomiorum extensis 1 ) auf Koeffizienten von Polynomen übergeführt,und die Resultate werden durch Induktion abgeleitet.

Ein vom Grafen Franz Schaffgotsch von Prag (1743 —1809)entdecktes Gesetz, welches zur Fortsetzung der bekanntenPellischen Tafeln dienet 2 ), wird am gleichen Orte von Beguelinund von Tessanek bewiesen. Schaffgotsch stand mit dem AstronomenBernoulli in Berlin in Korrespondenz und wurde durch ihn und dieSchriften von Beguelin und Lambert angeregt, die Faktorentafeln zuerweitern. Sobald er aber vernahm, daß Hindenburg in Leipzig sich mit dergleichen beschäftigte, unterbrach er die vorgenommeneArbeit. Er veröffentlichte aber sein Gesetz, wodurch er Faktoren-tafeln, die alle durch 2, 3, 5 teilbare Zahlen ausschließen, ohne Berechnung fortsetzen konnte. Eine solche Zahlenreihe ist von der Form

30 r + l, 30r + 7, 30 r + 11, 30 r + 13, 30>• + 17, 30»■ + 19,

30 r -F 23, 30r + 29,

wo r = 0, 1,2,3,... In einer Tabelle gibt Schaffgotsch allePrimzahlen von 7—449 und für jede derselben gibt er acht Zahlenzur Anwendung seiner Methode. Z. B. für die Primzahl 7 hat er7, 4, 7, 4, 7, 12, 3, 12. Um nun in obgenannter Zahlenreihe alledurch 7 teilbare Zahlen, die größer als 7 2 sind, zu finden, nehme mannach 49 die siebente (30r -f- 17 = 77), die nächstfolgende vierte (91),dann die siebente (119), die vierte (133), die siebente (161 1 , die zwölfte(203), die dritte (217), die zwölfte (259). Dann fange man vonneuem an und nehme die siebente etc. Koch zu beachten ist, daßdie Summe der zu einer Primzahl p gehörigen Zahlen immer 8p ist.

Die Abhandlung 3 ) Novae demonstrationes circa divisores

q Acta Petrop. pro anno 1TS1 pars posterior, Petropoli 1785, p. 7G—89.

*) Abh. einer Privatgesellsch. in Böhmen, 5. Bd., Prag 1782, S. 354—382. Mansehe einen zweiten Aufsatz von ihm für das Jahr 1786, S. 123—159. ’) X.

Acta Petrop. I, 1783, p. 47—74 = Comm. Arith. II, p. 159—173.