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Abschnitt XX.

numerorum formae x 2 + ny“ ist eine von drei Schriften 1 )L. Eulers, welche im 18. Jahrhundert gedruckt Avurden und einebedeutende Anzahl Lehrsätze über Teilbarkeit von x 2 + ny 2 enthalten.

Den naturgemäßen Weg, Kettenbrüche abzuleiten, sie nämlichaus trinomischen Gleichungen abzuleiten, hatte Euler schon 1739angedeutet 2 ). Er wird nun in der Schrift De formatione fractio-num coutinuarum 3 ) weiter geführt. Die rekurrierenden GleichungenfÄ = y 11 + IC, f II = g'C + KD, .

ergeben

'b=<J

hC

-B= ( J

fh

fB-.C’

h'D

-ft +

Avoraus sich der Kettenbruch ^ =

fh’

rc-.D '

leicht herleiten

, fh

'J + g'+fV _

g" -f etc.

läßt. Ist z. B. s = x”(a — ßx — yx 2 ), so Avird s = 0, wenn a = ßx+ yx 2 oder ux n = ßx n + 1 + yx n+2 , avo n = 1, 2, 3, . .. Für die ReiheA, B, C, . . . kann man hier 1, x, X 2 , . . . und statt f, g, h, . . . die

Zahlen c, ß, y ,... setzen. Daraus wird “ = ß + a ' ! — , avo

X 1 p - 4 - ay 7

ß + etc.

= ß + Vß 2 + 4 ciy.

Im Jahre 1783, dem Todesjahre L. Eulers, erschien in St. Peters-burg der erste Band seiner Opuscula aualytica, AA'ovon der ZAA’eiteBand 1785 herausgegeben wurde. Diese zAA-ei Bände enthalten mehrereAbhandlungen über Zahlentheorie, die Euler ungefähr zehn Jahrefrüher verfaßte. In einer derselben 4 ) Averden die Kriteria für dieganzzahlige Auflösung von fx 2 + gy- = hz 2 hergeleitet. Für vorgelegteWerte von /'und g Averden Zahlen h gefunden, wofür Lösungen derGleichung möglich oder unmöglich sind. In einer anderen Schrift 5 )Nova subsidia pro resolutioue formulae ax 2 + 1 = y 2 wird einAA'iederholter Angriff auf die Fermatsche Gleichung, die er selberund auch Lagrange früher eingehend behandelt hatten, gemacht.Er stellt Regeln auf, Avelche in der Konstruktion von Tabellen zurErleichterung der Rechnungen dienen.

In der Abhandlung Miscellanea analytica 6 ), welche 1773 ver-faßt wurde, gibt Euler unter anderem einen Beweis des früher von

') Cornm. Petr. XIV, 1744 40, p. 151; Opuscula aualytica II, 1785, p. '275= Cornm. Axith. I, p. 35. II, p. 140. *) Ebenda, T. XI, ad amium 1739, Petro-

poli 1750, p. 32—81. *) Acta acad. scieut. imp. I’etr. pro anno 1779, pars

prior, Pctropoli 1782, p. 3—29. *) Opuscula analytica I, p. 211—241 = Comm.

Arith. I, p. 556—569. 6 ) Ebenda, I, p. 310—328 = Comm. Arith. II, p. 35—43.*) Ebenda, I, p. 329—344 = Comm. Arith. II, p. 44—52.