Zahlentheorie.
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erzielt dieses durch die von ihm entdeckten primitiven Wurzeln. Ist
g eine primitive Wurzel der Primzahl p, so enthält die Periode von galle Zahlen 1 ,2, (jp —1). Es gehört nun g zu der geraden Zahlp — 1, weshalb
1 • L> ■ 3 • • • (p - 1) + 1
durch p teilbar ist.
Ein anderer Aufsatz 2 ) L. Eulers enthält Beobachtungen überden Perm ätschen Polygoualzahlsatz, welche auf der Entwicklung derPotenzen der Reihe 1 + x a + x? + • • •, wo u, ß,. . . Polygonalzahlensind, beruhen. Eine zu gleicher Zeit veröffentlichte kleine Schrift 3 )Eulers lehrt die kleinsten Werte von u, ß, y zu finden, die annäherndder unbestimmten Gleichung ersten Grades uA = + ßB -j- yC genügen,wo A, li, C gegebene Zahlen sind, die im allgemeinen auch irrationalsein dürfen.
In der Abhandlung Speculationes super formula integrali
x”dx
V~{a u — 2 bx ff- cxx
ubi simul egregiae observationes circa
fractiones continuas occurrunt 4 ) leitet Euler durch Integral-rechnung die Werte verschiedener Kettenbrüche ab. Er erhält z. B.
a , , not
A T 31 — 4 a a c
ob — 9 uac
7 b -’
b ± yo
wo, für x
\bx-\-cxx)
Ausdruck
welcher“, wie er sagt, „deshalb denkwürdiger ist, weil bisher kein Wegoffen stand, den Wert dieses Kettenbruchs a priori zu finden“. Es
n —r- m'ff
° n — m
werden log i, log ^ , logarctan a , !l ■
in Kettenbrüche entwickelt, sowie
b
Wir verdanken Euler die Entdeckung eines fundamentalen Lehr-satzes der Zahlentheorie, des sogenannten Reziprozitätsgesetzes. Un-gefähr 140 Jahre früher hatten die binomischen Kongruenzen zweitenGrades die Aufmerksamkeit des großen Mathematikers Ferrnat erregt.Ohne Beweise anzugeben, hatte er die Bedingungen, unter welchen
*) Vgl. Eulers Brief an Lagrange vom 24. Sept. (5. Okt.) 1773 in La-grange , Oeuvres XIV, p. 235, und Opera posthuma (Euler) I, p. 583.
*) Opuscula analytica II, p. 3 = Comm. Arith. II, p. 92—98. *) Ebenda, II, p. 91
= Comm. Arith. II, p. 99—104- 4 ) Acta acad. scient. imp. Petr, pro anno
1782, pars posterior, Petropoli 1786, p. 62—84."