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Abschnitt XX.
+ 1, + 2, + 3, 5 quadratische Reste oder Nichtreste von ungeradenPrimzahlen sind, aufgestellt 1 ).
Euler untersuchte in zwei Abhandlungen, die wahrscheinlichbeide 1772 verfaßt wurden 2 ), die Reste, welche entstehen, wennQuadrate und höhere Potenzen mit Primzahlen dividiert werden. Inder ersten dieser zwei Schriften drückt er das Gesetz in vollendeterForm, aber ohne Beweis aus. Diese berühmte Abhandlung führt denTitel Observatio nes circa divisionem quadratorum pernumeros primos.
Kronecker macht die interessante Mitteilung 3 ), daß Euler bei-nahe 40 Jahre früher, in einer Abhandlung aus den Jahren 1744 bis1746, als Resultat von Beobachtungen eine Reihe von Lehrsätzen undBeobachtungen gibt, welche im wesentlichen das Reziprozitätsgesetzenthalten 4 ). Natürlich dürfen diese Aussprüche nicht als eine Ent-deckung des Gesetzes angesehen werden.
Die entwickelte und allgemeine Auffassung des Reziprozitäts-gesetzes wird von Euler in der Schrift des Jahres 1783 zuerst invier Theoremen aufgestellt, dann in der neuen Form eines einzigenLehrsatzes ausgesprochen. Die vier Theoreme beziehen sich auf dieDivision der Quadratzahlen durch Primzahlen und lauten wie folgt 5 ):
Si divisor primus fuerit formae 4ns + (2x -f- l') 2 , existentes numero primo , tum in residuis occurrent numeri -f- set — s.
Si divisor primus fuerit formae 4ns — (2x -f- l) 2 , existentes numero primo , tum in residuis occurret numerus -f- s; at— S erit in non-residuis.
Si divisor primus fuerit formae 4ns —4^ — 1, excludendoomnes valores in forma 4ns — (2;r + l) 2 contentos, existentes numero primo , tum in residuis occurret —s, at -j- s eritnon-residuum.
Si divisor primus fuerit forma 4»s -f- 4s -f- 1, excludendoomnes valores in forma 4ns + (2x -+- l) 2 contentos, existentes numero primo, tum tarn + s quam — s in non-residuisoccurret.
Euler läßt nun die Bemerkung folgen, daß er diese Lehrsätze
‘) Oswald Baumgart, lieber das Quadratische Reciprocitätsgesetz, Leipzig 1885, S. 3. *) Opuscula analytica I, p. 64—84 = Comm. Arith. I, p. 477—486;
ebenda, p. 122—156 = Comm. Arith. I, p. 487—506. *) Monatsb. d. K. Akad.
d. Wiss. zu Berlin , 1875, S. 268. 4 ) Comm. Petr. XIV, 1744, p. 151 = Comm.
Arith. I, p. 35—49. Das Reziprozitätsgesetz hätte nach Kronecker namentlichaus Theorema 27 und den Annotationes 3, 4, 7, 13, 14 und 16 geschlossenwerden können. 6 ) Comm. Arith. I, p. 484, 485.