Zahleutheorie.
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hinzufüge, damit jedermann, der an Spekulationen dieser Art Ver-gnügen findet, ihren Beweisen nachspüren möge, denn dadurch werdedie Zahlentheorie gewiß wichtige Erweiterungen erhalten. Zum Schlußsagt er dann, daß die vier Sätze in folgender Weise recht übersicht-lich dargestellt werden können:
Existentes liumero quocunque primo, dividantur tantumquadrata imparia 1, 9, 25, 49, etc. per divisorem 4s, notentur-que residua, quae omnia erunt formae Aq + 1, quorum quodvis littera « indicetur, reliquorum autem numerorum, formae■iq + 1, qui inter residua non occurrunt, quilibet littera Aindicetur, quo facto si fuerit
divisor numerusprimus formae4 n s 4- k4 ws — cc4 ws + .14 ws — A
tum
+ s residuum et — s4- s residuum et — s+ s non-residuum et+ s non-residuum et
est
residuum,
non-residuum,
— s non-residuum,
— s residuu m.
Wenn wir hier den quadratischen Charakter von — s außer Betrachtlassen und die Primzahlen 4ws + u und 4ws + A durch p bezeiclmen,so ist es nicht schwer, die Eulersche Formulierung des Rezipro-^itätsgesetzes mit der folgenden jetzt üblichen Form zu identifizieren:Sind p und s zwei positive Primzahlen, von denen mindestenseine die Form 4w + 1 hat, so ist s quadratischer Rest oder Nicht-rest von p, je nachdem p quadratischer Rest oder Nichtrest von sist; haben aber beide Primzahlen p und s die Form 4w + 3, so ist squadratischer Rest oder Nichtrest von p, je nachdem p quadratischerNichtrest oder Rest von s ist.
An die Arbeit von Johann Bernoulli III. des Jahres 1771 an-knüpfend, untersucht Anton Felkel 1 1750—?) die Verwandlungder Bruchperioden nach den Gesetzen verschiedener
Zahlensysteme 1 ). Der im Dezimalsysteme 0,076923 • • • =geschriebene Bruch heißt im Systeme von der Grundzahl 6 nachFelkel: 0,02434(1531215 • • • = 2 „ + + 3 -+- „ 4 . -f- • • • Er nennt
D" O O D
eine Bruchperiode eines Primteilers p eine vollständige, wenn siep — 1 Stellen hat (wie bei p = 7), eine unvollständige, wenn sie