Zahlentheorie.

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zu finden, hatte seinen Ausgang in einer zweiten Abhandlung, Dis-quisitiones ulteriores de indole fractionum continuarum 1 )worin Bernoulli die Auffindung eines independenten Gesetzes fürdie Bildung eines beliebigen Näherungswertes im Auge bat, aber im

Falle willkürlicher „Indices“ n , \ , • • • in dem allgemeinen Ketten-

' c p ^

brucb «+h nicht weiter kommt, als aus zwei nacheinander fol-

ß H-

M V f

genden Näherungsbrüchen , q und dem nächsten Index ^ den

hierauf folgenden Näherungswert

P<t> + Mf(J<t> + Nf

zu ziehen, ein Verfahren,

welches er als ein vorzügliches Kompendium charakterisiert. Ohnesich des Eul ersehen Algorithmus zu bedienen, vervollkommnet undvereinfacht Bernoulli die bisher angewandten Darstellungsmethodender Näherungswerte. Er geht von einem allgemeineren Kettenbruchaus, als es bei Euler der Fall war.

In einer Schrift, Arithmetische Betrachtung 2 ), behandelt-lohann Tessanek die Gleichung drd -f- 1 = e 2 , ohne aber die Ar-beiten Lagranges anzuführen.

Tessanek bestimmt den Wert von n bei gewissen Zahlen dverschiedener Formen, und zeigt, wie unendlich viele Formen gefundenund bei diesen die Werte für n allgemein bestimmt werden können.Er schreibt d = a s -f b und findet e > an, also e = an J rp 1 - auchfindet er n > p v also n = p 1 + p 2 . Dann betrachtet er den Fall

h > «, Pi > Pi, lh< 2 Pi, uncl setzt Pi = Pi + 1h, Pi = P 3 + Pi,)h < %Ps, etc. Für p i findet er einen allgemeinen Ausdruck

(Pi+A + V (« 2 + b)phi +

wo h 1 = b — a, g ü = b, <j x = 2a — /> + 1, und

h i + 1 = ( Ji - K 9i + i = 2/q - g, + g ( _ x .

Nimmt man nun g t = 1 und p t + 1 = 0, dann wird p t = 1 und mankann p i _ 1> p ( _n ausrechnen. Z. B. nimmt man / = 3, dannhat man

Ps = b Pt = 0, p, = 1, 2h = 2, n = 3, & = 12a - 9b + 4 = 1,

a — 3 c — 1, b — 4 c — 1, wo c irgend eine positive ganze Zahl ist.Endlich folgt {(3c — l) 2 + 4c — 1} 3 2 + 1 = (9c — l) 2 . Die Auf-

*) N. Comm. Petr., Tom. XX, pro anno 1775, Petropoli 1786, p. 24—47;vgl. S. Günther, op. cit., p. 8—10. ’) Abh. d. Böhmischen Gesellsch. der

Wiss. auf das Jahr 1786, p. 160—171.