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Abschnitt XX.

fassung des sogenannten Feilschen Problems ist hier der von La-grange und Euler ganz fremd. Statt d als eine gegebene Kon-stante zu betrachten und die dazu gehörigen Werte von n und e zuuntersuchen, werden hier verschiedene Formen der Zahl d genommenund dazu passende Zahlen n gefunden.

Die Zerfiillung zusammengesetzter Zahlen wird auch von G. S.Kl ügel zu Helmstädt besprochen. Er nimmt das Produkt

(90 r + m) (90 r -j- n )

und untersucht die Werte, die mn annehmen kann 1 ). An gleicherStelle erschien über diesen Gegenstand eine Schrift von JohannAndreas von Segner , die er schon 1777 als eine Briefbeilage anHindenburg versandt hatte 2 ). Jede Zahl, die sich nicht durch 2oder 3 teilen läßt, besitzt die Form Ow — 1 oder 6« + 1. Von diesemLehrsätze ausgehend, stellt Segner Kegeln für die aufzusuchendenFaktoren der Zahlen. Wie C. F. Hindenburg in seinen Anmerkungenüber diese Abhandlung 3 ) sagt, werden diese Regeln immer zusammen-gesetzter, je mehr Teiler man von Anfang an ausschließen will.

Das 18. Jahrhundert brachte drei große Forscher im Gebiete derZahlentheorie hervor, nämlich Euler, Lagrange und Legendre .Die erste Arbeit Legendres ist Recherches d’analyse indeter-minee 4 'l. Diese hervorragende Leistung betrifft vier Probleme zahlen-theoretischen Inhalts, wovon das erste die ganzzahlige Auflösung derlinearen Gleichung Ay - ax” + bx + cx n ~ 2 -(-•■• behandelt. VomLagrangesclien Satze 5 ), daß x nicht mehr als n Werte annehmenkann, und vom Fermatsehen Satze ausgehend, zeigt Legendre erst,,wie man Ay = x” — B lösen kann, und wendet dann die so er-haltenen Resultate auf die allgemeine Gleichung an. Im zweitenProblem wird die unbestimmte Analysis zur Zerlegung eines Poly-noms in Faktoren benutzt. Es werden aber keine Kriterien entwickelt,welche die Möglichkeit oder Unmöglichkeit einer Zerlegung dartun.Der dritte Abschnitt entwickelt den Satz, daß nx 2 -f- by 2 = cz 2 , woa, b, c positiv, teilerfremd und von quadratischen Faktoren frei sind,lösbar ist, wenn drei ganze Zahlen A, a. v von der Art existieren, daß

nX + & c f‘ — ^ c 7 — ° ,, anze Zahlen sind. Der vierte Abschnittc ’ a ’ b °

behandelt Primzahlen und ist bei weitem der bedeutendste dieser Ab-handlung. Er enthält nichts weniger als das große Keziprozitäts-

‘) Leipziger Magazin il. r. u. a. Matliem., 1. Stück, 1787, S. 19U—210.

Ebenda, S. 217 — 225. *) Ebenda, S. 226—244. 4 ) Histoire de l’acad. roy.des Sciences, annee 1785, Paris 1788. p. 405 559. •*) Berliner Meniorien 176s

und 1775.