Zahlentheorie.

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gesetz, welches zwei Jahre früher in Eulers Schriften schon ge-druckt war. Legendre ist der zweite Entdecker dieses Satzes. Öb-schon er damals Schriften Eulers über Zahlentheorie durchmustertund einige Teile von Eulers Opuscula analytica (Bd. I) ge-lesen hatte, war ihm die Arbeit des Schweizers über das Reziprozitäts-gesetz nicht bekannt. Später machte Gauß eine ähnliche Erfahrung.Von ihm wurde der Satz zum drittenmal entdeckt, bevor er vonLegendres Untersuchungen Kenntnis hatte. Eulers Aufstellungdes Satzes haben Gauß und Legendre nie gekannt. Erst Kroneckerhat die Mathematiker auf diese Leistung aufmerksam gemacht 1 ).

In Legendres Untersuchung ist das Reziprozitätsgesetz auchbewiesen, aber der Beweis ist unvollständig. In dem Ausdrucke

c-l

d 3 soll nach Legendre angenommen werden, daß alle Vielfachen

C— 1

der Primzahl c verworfen sind; dann hat man entweder d 3 = 1 oder

c-1

d 3 = — 1, wo d irgend eine ganze Zahl, nur kein Vielfaches von c,sein darf. Nach Legendre seien A, a Primzahlen von der Form4» + 1, und B,b Primzahlen von der Form 4» + 3; dann stellt er 2 )acht Theoreme auf, die zusammen das große Gesetz ausmachen. DieAusdrucksweise derselben ist aus den zwei ersten ersichtlich, nämlich

o-l 6-1

I. Wenn b 2 = 1, dann folgt a 2 = 1.

ft — 1 a — 1

11. Wenn a 2 = — 1, dann folgt b 2 == — 1.

Legendre faßt nun alle acht Fälle in folgendem Ausspruch zu-sammen: „c et d etant deux nombres premiers, les expressions

a-y c -i

c 2 , d 2 ne seront de differens signes que lorsque c et dseront tous deux de la forme 4«—1; dans tous les autrescas, ces expressions auront toujours le meme signe.“

In seinem sinnreichen Beweise geht Legendre von der GleichungA.x 2 + ay- — bz 2 aus. Dieselbe kann nicht durch ganze Zahlen gelöstwerden, da die linke Seite von der Form 4» + 1 oder 4w 2 unddie rechte Seite von der Form 4 n oder 4w — 1 ist. Nach einerMethode von Lagrange sollte diese Gleichung aber stets lösbar sein,

A -1 A-l o-l o-l

wenn gleichzeitig die drei Bedingungen n ! b 3 = 1, A 3 b - = 1,6-1 6-1

-4 2 « 2 = — 1 erfüllt wären. Wenn A = 1 ist, so sollte b 2 = 1,

*) Monatsb. d. K. Akad. d. Wiss. zu Berlin , 1875, S. 2G7—275.cit., S. 516, 517.

=) Loc.