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Abschnitt XX.

6- 1

a 2 = — 1 sein. Da dies aber unmöglich ist, zieht Legendre aus

a — 1 b—1

der Annahme b 2 = 1 die Folgerung a 2 = 1, und aus der Annahme

6-1 a-l

a - = — 1 die Folgerung b 2 = — 1. Soweit ist der Beweis voll-

n — i

ständig; auch zieht Legendre den strengen Schluß, daß b 2 = 1,6-1

B 2 = 1 nicht gleichzeitig bestehen können. Was den übrigen Teildes Beweises anbelangt, sagt Legendre selbst: „Dans cette demon-stration, nous avons suppose seulement qu'il y avoit un nombre premierb de la forme 4 n — 1, qui pouvoit diviser la formule x s + Aif.“Gauß hat den Legendreschen Beweis einer eingehenden Kritik unter-worfen 1 ) und hat hervorgehoben 5 ), daß zur Vervollständigung des-selben es erwiesen werden sollte, daß zu einer jeden Primzahl vonder Form 4n -f- 1 eine Primzahl von der Form 4 h + 3 gefundenwerden kann, in Beziehung auf welche jene quadratischer Nichtrestist. Dieses Postulat mag von dem Satze abhängig gemacht werden,daß jede arithmetische Beihe, in welcher nicht alle Glieder einen ge-meinschaftlichen Faktor haben, notwendig Primzahlen enthalten muß.Dirichlet hat später diesen Satz bewiesen* *).

Legendre hat die Wichtigkeit des Reziprozitätsgesetzes völligerkannt und mehrere Sätze über Primzahlen daraus abgeleitet. Mitdemselben könne man alle Sätze, die Euler durch Induktion aufS. 176, 281, 295 usw. des ersten Bandes der Opuseula analyticaaufgestellt habe, beweisen; man könne zeigen, daß, wenn fx s ~i~gy 2= hz i lösbar ist, fx* + gy i = (h + fgn)z 2 es auch ist, solange(Ji fgn) prim bleibt. Letzterer Satz enthält als Spezialsatz einenähnlichen, von Euler durch Induktion entdeckten Satz. Legendre berechnet vier Tafeln, welche die verschiedenen Formen, die Teilervon t 2 + au 2 annehmen können, enthalten, worin die Primzahl a, be-ziehungsweise die Form 8 h — 3, 8 h + 1, 8 h -f 3, 8 h — 1 hat. DieseTafeln dienten nicht nur um viele schon bewiesene Sätze deutlicherhervortreten zu lassen, sondern auch um neue Sätze zu enthüllen.Legendre nennt z. B. den von ihm durch Induktion erhaltenen Satz,daß, wenn a = 8 h — 3, es ebenso viele Teiler von der Form 4n — 1als von der 4 h + 1 gibt, und daß diese Anzahl der Anzahl verschie-dener Zerlegungen von a in die Summe dreier Quadrate gleich ist.Z. B., wenn a = 109, so hat t 1 + au 2 zwei Teiler von der Form4 h + 1, nämlich y 2 + 109^ 2 , 5 y- + 2yz + 22z 2 , und zwei ähnliche

*) Disq. Arith., Artikel 151, '29fi, 297 und Additamenta. *) Additainenta.

*) Kummer in Math. Abh. d. K. Akad. d. Wiss. zu Berlin , 1859, S. 19, 20.