Zahlentheorie.

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von der Form 4 m — 1; es kann nun 109 genau auf zwei Arten,10 s + 3 2 -f 0 S , 8 2 + Ir -j- 3 2 , in die Summe dreier Quadrate zerlegtwerden. Einige Sätze über Primzahlen, welche Lagrange in denBerliner Memorien der Jahre 1773 und 1775 bewiesen hatte, werdenvon Legend re auf neue Art abgeleitet.

L. Euler behandelt in einem Memoir 1 1 den früher von ihm undLagrange untersuchten Gegenstand über ähnliche Funktionen undMinimalwerte. Wenn A T = a 2 + nlr, soll erstens X 3 , X' 3 , . . . durchdie gleiche Form x 2 + ny 2 dargestellt werden, und zweitens sollendie Minimalwerte von x oder von y gefunden werden.

Eine andere Abhandlung 2 1 L. Eulers gibt die Fälle an, inwelchen die Formel .c 4 + kx 2 y 2 + //' ein Quadrat ist, und tabuliertdie ganzzahligen Werte von l' zwischen — 100 und -f- 100, und die

dazu gehörigen Verhältniswerte von x - , welche Quadrate liefern.

Man hat z. B. k — lli, — = “ und ■ Es ergibt sich, daß k nicht’ y i 12 n

1, 3, 4, 5, 6, 9, . . . sein kann.

Die Zahl 1000009, welche L. Euler in seiner De tabulanumerorum primorum des Jahres 1774 unter die Primzahlen setzte,wird von ihm 1778 in einem separaten Aufsatz S J untersucht und alseine zusammengesetzte Zahl mit dem kleinsten Divisor 293 erkannt.Euler findet 1000009 — x 2 = 235 2 , wo x = — 972 ist, sowie1000009 = 1000 2 + 3 2 = 972 2 + 235* *. Daraus wird 1000 2 - 235 2

10q r \ QfiU IQ

= 972 2 — 3 2 , 1235 • 765 = 969 • 975 und “ = — = 7 : • Es ist

? *J<o 160 lo

also 19 2 + 15 2 = 293 ein Divisor von 1000009.

In der 1777 verfaßten Schrift De novo genere quaestionumarithmeticarum, ])ro quibus solvendis certa methodus ad-huc desideratur 4 ) untersucht L. Euler das Problem, alle ganzenZahlen N zu finden, so daß A 2 + U 2 und A 2 + NB 2 zu gleicher ZeitQuadratzahlen vorstellen. Er setzt

A = x 2 - ß, B = 2 x y, A 2 + XB 2 = ,r

und erhält X = {z 2 — (* 2 — // 2 ) 2 | : 4 x 2 y 2 , wo also z so zu wählen ist,daß X ganzzahlig wird. Man nehme z = x 2 -f 2 ux 2 ß + y 2 oderz = .r 2 -f 2 ax 2 y 2 — ß, woraus

X = (icx 2 + 1) (uy 2 + 1) oder = (ux 2 — 1) ( uy 2 + 1) + 1

*) X. Acta Petr. IX, 1791, p. 3—18 = Comin. Arith. II, p. 174—182.

*) Ebenda, X, 1792, p. 27—40 = Comm. Arith. II, p. 183—189. *) Ebenda,

p. 63—73 = Comm. Arith. II, p. 243—248. *; Ebenda, XI, ad aiiuum 1793,

p. 78—93 = Comm. Arith. II, p. 190—197.

Caxtor, Geschichte der Mathematik IV.

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