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Abschnitt XX.

wird. Erhält hier u verschiedene ganzzahlige und Bruchwerte, so er-geben sich 41 ganze Zahlen X, die kleiner als 100 sind. Euler gibtnun an, daß es ihm nicht gelungen sei, das Gesetz zu entdecken,welches die Zahlen X von anderen ganzen Zahlen unterscheidet, auchsei das Problem noch nicht allgemein gelöst, alle Zahlen X zu finden,welche in den Formen X = (a' 2 + l)(?/ 2 + 1) UI *d X — (x 3 — 1 )(?/ 2 — 1),wo x und >i Integral- oder Bruchzahlen sein mögen, enthalten sind.

Dies ist die letzte Abhandlung von L. Euler über Zahlentheorie,welche vor 1800 gedruckt wurde. In den von uns öfters zitiertenLeonhardi Euleri comin entationes arithmeticae collectae(P. H. Fuß et Nicolaus Fuß, 1S49) werden im ganzen 9G Ab-handlungen angegeben, von denen 33 nach 1799 erschienen und des-halb hier nicht besprochen werden können. Weder der Verlustseines Gesichts noch sein hohes Alter vermochten Eulers Arbeits-liebe zu erschöpfen. Sein Versprechen, der Petersburger Akademieso viele Abhandlungen zu liefern, daß sie auf zwanzig Jahre nachseinem Tode hinreiehen sollten, hat er gehalten. Er starb» 1783 und1830 erschien in den Petersburger Memorien ein Aufsatz von ihmüber die unbestimmte Analysis.

ln einem Aufsatze De decomposer les nombres entiersnon-carres en deux, trois ou quatre carres 1 ) werden vonChristian Friedrich Kausler (1760—1825) aus Tübingen Rech-nungsregeln abgeleitet, um eine ganze Zahl, die keine Quadratzahlist, in die Summe von zwei, drei oder vier ganzen Quadratzahlen zuzerlegen. Dabei spielen die pronischen Zahlen, d. h. Zahlen von derForm m(in + 1), eine hervorragende Rolle. In einer Tabelle werdenalle pronischen Zahlen bis 50850 aufgezählt.

Im Jahre 1798 fan VI) veröffentlichte Legendre in Paris seinberühmtes Werk Essai sur la theorie des nombres. Eine zweiteAuflage erschien 1808, eine dritte, mit dem Titel Theorie desnombres, 1830. Während der zweite Teil von Eulers Algebra,mit den Lagrangeschen Zusätzen, viele der höheren Resultate derZahlentheorie unberührt läßt, bringt Legendre alles, was er findenkonnte, in seinem Werke zusammen. Seine eigenen Untersuchungenvon 1785 sind hier in vollendeter Form wiedergegeben. Ein ge-regeltes Werk darf man es aber nicht nennen. Es fehlt der leitendeFaden allgemeiner Methoden. Dessenungeachtet war es hoch ge-schätzt und während mehrerer Dezennien waren dieses und Gauß’Disquisitiones arithmeticae die einzigen Bücher über die höherenTeile der Zahlentheorie. Auf S. 186 führt er die jetzt als das

*) X. Acta Petr., ad annum 1793, Petropoli 1798, hist. p. 125—15G.