196

Abschnitt XX.

Anzahl Ziffern ausziulrücken, welche erforderlich sind, eine Zahl bvon einer größeren Zahl a nach der gewöhnlichen Art so oft abzu-ziehen, bis ein Rest übrig bleibt, welcher kleiner als b ist. Dannwerden Modifikationen dieses Problems betrachtet, wie z. B., ti und />so zu bestimmen, daß die Anzahl der erforderlichen Ziffern gleich «ist.

ln einem Aufsatze, De proprietate numerorum divisibi 1 iumper 11, 111, 1111 etc. 1 ) setzt Giannantonio Andrea Castelvetri(V —1766) von Bologna frühere Untersuchungen fort 2 ) und findet für11, 111, 1111,... Eigenschaften, welche denen von 9 und 3 analogsind. Um zu sehen, ob 83976426643 durch 111 teilbar sei, nehmeman die Summe der dreizifferigen Perioden, so 643 + 426 -j- 976-j- 83 = 2128, dann die Summe 128 + 2 = 130. Da nun 130 : 111den Rest 19 gibt, ist die vorgelegte Zahl durch 111 nicht teilbar

und 19 bleibt bei der Division übrig. Die Zahl 93297809286 ist

durch 1111 teilbar, denn 9286 + 9780 + 932 = 19998, 51998 + 1- 9999, und letztere Summe ist durch 1111 teilbar. Eine zweiteEigenschaft erklärt sich durch zwei Beispiele. Ob die Zahl73486529466 durch 111 teilbar sei, kann man so ausfinden:66 + 29 + 86 + 73 = 254, (4 + 5 + 4) 11 = 143, 254 - 143 - 111,deshalb ist die gegebene Zahl durch 111 teilbar. Die Zahl

3214510128211 ist durcli 1111 nicht teilbar, denn 211 -j- 012 + 214= 437, (3 + 9 + 8) 111 = 2220, 437 - 2220 = - 1783, - 1783 + 1111x 2 = 439, und 439 ist der bei der Division erhaltene Rest.

Castelvetri bemerkt, daß für die Zahl 11, der „doctissimus PaterG. H.“ diese Eigenschaft hergeleitet habe.

In einem Aufsatze Methode pour resoudre plusieurs pro-blemes indetermines 8 ) löst De la Bottiere vier Aufgaben, deren

l ) De Bononiensi Scientiarum et Artium Institute» atque Aeadeiuia Commcntarii,T. V, Pars altera, Bononiae 1767, p. 108—110. s ) In einer vor Anfang unsererZeitperiode veröffentlichten Abhandlung De quadam generali numerorum pro-prietate (De Bonouiensi Scientiarum et Artium Inst, atque Acad. t'omm., T. IV,Bononiae, 1757, Opuscula, p. 242—259; Commentarii, p. 113—144) zeigt er, daßdie Eigenschaften der einfachen Zahlen (d. h. der Ziffern), die Fon teil eile in derHistoire de l'Academie Roy. des Sciences, Paris 1728, gefunden, und FredericSanvitali, S. J., in der Storia Letteraria d'Italia, T. VI, p. 761, bewiesen habe,sich auf alle ganzen Zahlen verallgemeinern lassen. Diese Arbeiten veranlaßtenFrancisco Maria Zanotti, die Zahlen 9 und 3 näher zu betrachten (DeBononiensi Scientiarum etc., T. IV, Commeutarii, p. 113—144), den Satz zu er-weitern: Si numerus quispiam multiplex sit uumeri 9, ac figurae ejus oinnemin unam summam conferantur, erit haec quoque summa multiplex numeri 9,und seine Resultate, in Bezug auf 9, auf die Ziffer 3 anzuwenden. 5 Memoiresde math. et de phvs. presentes. . . par divers savans, Tome IV, Paris 1763, p. 33bis 65.